Ciagi strV 57

8. Niech {a„} będzie ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie równym 3 i o różnicy równej 2, {6„} zaś ciągiem geometrycznym, gdzie b_{ = 2 oraz iloraz jest równy 3. Obliczyć

i +a₂+... + a„ n log b„

9. Niech a_n =    ⁼ ^ +2 + ... + n)², n = 2,3,... Obliczyć lim

10. Dane są ciągi {a.} i {ó„}, gdzie =    b_H = 2+4 + ... + 2n.

Obliczyć lim

1.2,-

11.    Obliczyć granicę ciągu {&„}, b„ = —^{ł 1} ^ ”, gdzie c_H

12.    Obliczyć granice:

a)    Um n(4/n³+n-n),

b)    lim (^/n(rt+l)² — ^/n(n— l)²).

13. Obliczyć granice ciągów:

b) +

14. Niech {a„} będzie zadanym ciągiem takim, że lim |    = q,

const. Pokazać, że jeżeli q < 1, to lim = 0.

15. Obliczyć granice ciągów:

b) />.    —, gdzie k i C są stałymi, przy czym keM, zaś C > 1.

16. Pokazać, że każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry (malejący I ograniczony od dolo) jest zbieżny do granicy właściwej,

17.    Pokazać, że ciąg {a„J, gdzie

I 2_    3^    n

“• ~ 2⁺ 2^{! +} ? ⁺⁺ y

jest zbieżny. Oszacować granicę tego ciągu.

18.    Niech a„ = 1 + ^ + ^ + ••• +^,n = 1,2,... Pokazać, że ciąg {a,} jest zbieżny oraz lim a_n < 2.

19. Udowodnić, że ciągi |^1 + ^ jorazj^l + ^j    j są zbieżne i to do tej samej granicy (oznaczamy ją przez e i nazywamy liczbą F.ulera).

20.    Wykazać, że 0 < e- ^1 + -'j < ^ dla n = 1,2,...

i {a,} « {*>„} takie, że lin

21. Niech dane będą d lim b„ = - co. Pokazać, że

e następujące ciągi s

Wskazówka. Skorzystać z zad. 14.

23. Pokazać, że lim -j== = 0. Wskazówka. Skorzystać z zad. 66, rozdz. I.

24. Obliczyć granice następujących ciągów:

25. Niech {xj będzie dowolnym ciągiem ograniczonym. Tworzymy nowe ciągi {<*„} i {/U przyjmując, że: a„ = inf{x_k:k > n},    = sup{**:k » «},

n » 1,2,...

Pokazać, że ciągi {#„} i |/f„| są /bieżne (do granic wlaAciwych).