8 (16)

142

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

Niech {x„} będzie ciągiem parami różnych punktów przedziału (a, b) i niech szereg £|cj będzie zbieżny. Udowodnić, że szereg

/(*) = £ c„/(x-x„) (a $ x < b)

n = 1

jest zbieżny jednostajnie i że funkcja/jest ciągła dla każdego x & x„.

9. Niech {/„} będzie ciągiem funkcji ciągłych, zbieżnym jednostajnie na zbiorze £ do funkcji f. Wykazać, że

lim/„(x„) = f(x) dla dowolnego ciągu punktów x„ e £, zbieżnego do x e E. Czy zdanie odwrotne jest prawdziwe?

n-*oo

10. Niech (x) oznacza część ułamkową liczby rzeczywistej x (porównaj zadanie 16 z rozdziału 4), Rozważmy funkcję

00

f(x) = J ——    (x - liczba rzeczywista).

Znaleźć wszystkie punkty nieciągłości fi wykazać, że tworzą one przeliczalny podzbiór gęsty prostej. Wykazać, że mimo to/jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale ograniczonym i domkniętym.

11. Niech {g„} i {/„} będą określone na £ i

a)    Z/»^ma jednostajnie ograniczone sumy częściowe;

b)    jednostajnie na £,

c)    gfx) > g₂(x) 2* g₃(x) > ... dla dowolnego x e E.

Udowodnić, że jest zbieżny jednostajnie na £.

Wskazówka. Porównaj twierdzenie 3.42.

11 Niech g oraz //« = 1, 2, 3,...) będą określone na (0, oo) i całkowalne w sensie Riemanna na przedziałach <t, T}, gdzie 0 < t < T< cc. Niech |/„| < g, /„-+/ jednostajnie na dowolnym podzbiorze zwartym (0, oo), i niech

(X)

\g(x)dx < co.

Wykazać, że

lim jfj[x)dx = ]f(x)dx. o    o

(Zobacz zadania 7 i 8 rozdziału 6.)

Jest to słaba wersja twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej (twierdzenie 11.32). Nawet w przypadku całki Riemanna, zbieżność jednostajną można by zastąpić punktową, jeżeli przy tym założyć, że / 6 R. (Zobacz artykuły F. Cunningham w Math.Mag., voł. 40,1967, str. 179-186, i H. Kostelmana w Amer. Math. Monthly, vol. 77, 1970, str. 182-187.)

13. Niech {/„} będzie ciągiem funkcji rosnących na R¹ i niech 0 < /„(x) < 1 dla dowolnych* i n. a) Udowodnić, że istnieje funkcja fi ciąg tą takie, że

f(x)= limf(x)

k~* <D

dla dowolnego x e R‘, (Istnienie takiego punktowo zbieżnego podciągu jest zazwyczaj nazywane twierdzeniem o selekcji Helly’ego.)

b) Jeżeli ponadto/jest ciągła, wykazać, że /^-^/jednostajnie na R'.

Wskazówka, (i) Istnieje podciąg {fj zbieżny w dowolnym punkcie wymiernym r do pewnej liczby, powiedz-my/(r).

(ii)    Określmy f(x) dla dowolnego x e R' jako sup/(r) po zbiorze wszystkich r < x.

(iii)    Pokazać, że/„(x)-»/(x) w każdym punkcie x, w którym/jest ciągła. (To jest miejsce, w którym w istotny sposób korzystamy z monotoniczności.)

(iv)    Istnieje podciąg ciągu {/, }, który jest zbieżny w każdym z punktów nieciągłości f ponieważ wobec monotoniczności/takich punktów jest co najwyżej przeliczalnie wiele. To dowodzi a). Dla dowodu b) należy odpowiednio zmodyfikować dowód punktu (iii):