MATEMATYKA164

318 VI. Ciągi i szeregi funkcyjne

d) Niech f(x) =    ¹ >. Wówczas

(1 + x)‘

/^fW-J

___ J_

(I

dx____!

(l + x)² "~l + x

+ l«-£(-l)V + l

0    O ^v‘ ' ^rt/    * '    n-0

dla X e(-l, I). Różniczkując ten szereg potęgowy otrzymujemy

—L-mfr-lI)’":n*'"    dla x 6(-1,1).    ■

V^{1 +} *) n-l

Na koniec przypomnijmy, że dla niektórych funkcji całkowalnych nie można efektywnie wyznaczyć funkcji pierwotnej, na przykład

dla funkcji f(x) = c^x , xeR, g(x) = xtgx, x e(-7i/2,it/2). Można jednak, jak zobaczymy na przykładzie, znaleźć szereg potęgowy, którego sumą jest poszukiwana funkcja pierwotna. Inaczej mówiąc, można w pewnych przypadkach znaleźć rozwinięcie poszukiwanej funkcji pierwotnej w szereg potęgowy (Maclaurina lub ogólniej Taylora).

PRZYKŁAD 3.8 Wiadomo, że dla każdego x € R

x’ x^2D

^e =XV

n-0

Stąd

*    * 2n

ń*0 5

..    M.n a • *•

czyli

, 2n*l

dla x 6. R .

(I)

₀ rj(2n + l)n!

Zgodnie z twierdzeniem o funkcji górnej granicy całkowania funkcja

X

F(x)^BJc^xdx dlaxeR

o

jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x) = c* . Równość (I) oznacza, że znaleźliśmy także całkę nieoznaczoną funkcji f(x) = c* :

2n-l

^(2" ⁺ »n!

7. (I) wynika, że funkcję pierwotną F(x) można aproksymować za pomocą wielomianu

^Ą    k

F(x)« |e*^łdx*»^

2kH

₍ X³ _t X⁵ _{t |} a__

“X (2n + l)n! ^{X +} 3-1! ⁺ 5-2! *    (2k + l)k!

2nO

,2n*l

Błąd tych przybliżeń jest dokładnie równy sumie szeregu ^ (2n+-T)n!

i jest tym mniejszy, im k jest większe i x bliższe zeru.    m

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1.    Wiadomo, że szereg potęgowy Ia„xⁿ jest zbieżny dla x = 3. Czy szereg ten jest zbieżny dla: a) x - -3, b) X - 4, e) x = -2?

2.    Wiadomo, że promieniem zbieżności szeregu £a_nxⁿ jest r = 3. Czy szereg ten jest zbieżny dla: a) x = 3, b) X 4, c) x -2?

3.    Wiadomo, że szereg Ia_nx" jest zbieżny dla x = 2, a rozbieżny dla x -4. Czy szereg ten jest zbieżny dla x = l, X = -2, x - 4 ,x = 5? Jaki warunek spełnia promień zbieżności tego szeregu?

4.    Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego:

^a)l(2n)!-		*) L<>"	1
d ynl(ntl)! , ^ (2n)!			n+3 n -X , ■i
H)I^.	h)i^2;^+e:x". n +3	0	(n!)^ł(2n + l)!*
		. n) y^sin3; ^ n+5	•x*.