82321

5.2 Szeregi funkcyjne

Niecił {/„} będzie ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze .4 C R. Określamy ciąg funkcyjny {5,,} następującym wzorem:

S_n(x) = f\(.r) + f*{x) + ... + f„{x)

Definicja 5.3 (Szereg funkcyjny)

Parę ciągów ({/„), {£„}) nazywamy szeregiem funkcyjnym, ciąg {5»} ciągiem jego sum częściowych, a ciąg |/_T,} ciągiem wyrazów lego szeregu.

Definicja 5.4 (Obszar zbieżności szeregu)

Zbiór punktów, dla których istnieje granica ciągu {S_u } • nazywamy obszarem zbieżności szeregu ({/,»}.{ S_n}).

Definicja 5.5 (Zbieżność szeregu funkcyjnego)

Szereg funkcyjny ({/„}. {5,,}) nazywamy zbieżnym jeżeli ciąg funkcyjny {5,,} jest zbieżny. Funkcję S = lim S_n nazywamy sumą szeregu funkcyjnego.

^v    n—*<x>

Uwaga 5.1 Szereg ({/„},{-S,}) będziemy zapisywać symbolem Y fn(x).

n=0 '

Przykład 5.3 Znaleźć obszur zbieżności oraz sumę szeregu:

«) E 4) E -r”

n=0    n=0

Przykład 5.4 Znaleźć obszary zbieżności następujących szeregów:

w'    ^{3,1    00} n / t \ⁿ    z4\ⁿ

o)E-    4) E^ⁿ*    c) E —T    (T~—r )    rf)E(-)    (arcrgx)"

' t *“ to    t«+1    ^2i +1/ tt*>

5.3 Szeregi potęgowe

Definicja 5.6 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie Xn € R i współczynnikach u„ G R, gdzie n G (JV^r U (0)). nazywamy szereg funkcyjny postaci:

oc

Y (j: - *o)^H

»=<j

Uwaga 5.2 W zapisie szeregu przyjmujemy, że (x - Xr>)° = 1 dla x = .to Twierdzenie 5.1

<x>

Dla szeregu potęgowego Y a_n (x — aro)” zachodzi jedna z trzech możliwości:

Tl (1

J. jest zbieżny jedynie w punkcie x = .rr>

2. jest zbieżny na całym zbiorze liczb rzeczywistych

20