Ciagi strV 57

^Niech. ^^a’\ ^hędz'^{e c}'4g>em arytmetycznym o pierwszym wyrazie równym 3 i o różnicy równej 2, {ó„} zaś ciągiem geometrycznym, gdzie ó, = 2 oraz iloraz jest równy 3. Obliczyć

9. Niech a. = ^"^,6„ = (l+2+_+n)¹,n. 2,3,... Obliczyć lim I

10. Dane są ciągi {aj i {OJ. gdzie =    0. _ 2 + 4+...+2n.|

Obliczyć lim —.

11.    Obliczyć granicę ciągu {b_m}, b„ = ~‘ ₊ ^C*, gdzie c. = (2n)!, n = 1,2,„

12.    Obliczyć granice:

a)    lim «(y «^s+»i- n),

b)    lim (^/n(n +1)² —f/n(n— 1)^J).

■4)K)b;

b)

c)    c.

1-2 ⁺ 2-3 ⁺    * n(n+1)’

l+2-3+4 + 5-6+7 + 8-9+._-3 n n² + n+ 1

14.    Niech {a.} będzie zadanym ciągiem takim, że lim | const. Pokazać, że jeżeli q < 1, to lim a. = 0.

15.    Obliczyć granice ciągów:

b) />. - - . gdzie k i C są stałymi, przy czym fc e H zaś C > I.

17.    Pokazać, że ciąg {aj, gdzie

₌ l 2_    _3    n_

2 ⁺ 2^{ł +} 2^{J + +} 2" jest zbieżny. Oszacować granicę tego ciągu.

1,2,... Pokazać, że ciąg {a.} jest

18.    Niech a, = 1 +    + p + ••• + ~2>ⁿ = 1

zbieżny oraz lim a, < 2.

19.    Udowodnić, że ciągi j^l + ^ j oraz j^l +    | są zbieżne i to do tej

samej granicy (oznaczamy ją przez e i nazywamy liczbą Eulera).

20.    Wykazać, że 0 < e— ^1 + ^ dla n = 1,2,...

21. Niech dane będą dowolne ciągi {aj i {1>J takie, że lin

i b„ = — co. Pokazać, że

a)a. = -Wskazówka. Skorzystać z zad.

23.    Pokazać, że lim = 0. Wskazówka. Skorzystać z zad. 66, rozdz. 1.

24.    Obliczyć granice następujących ciągów:

25. Niech {xj będzie dowolnym ciągiem ograniczonym. Tworzymy nowe ciągi {et.} i {0J przyjmując, że: a. = inf {X*:* > n}, fl_m * sup{x»:lc ? »}. n » 1,2,...

I’nk,i/.u. że i lągł ; / J i [/fj S.| /Inr/iu- (<!•• ri.iim w l.r.< m\w lii