img110

110

Zauważmy, że układ (9.8) Jest wynikiem rugowanie parametru 7¹ z układu równań

|L. o ¹a.|a_ (.) . o u . i.....m

który można też zapisać inaczej:

(•) - O    (i -    (9.9)

^d1i

gdzie:    ¹ f ¹ xg.

Z powyższych rozważań wynika, że ekstremum funkcji f przy warunku (9.7) można wyznaczyć w następujący sposób:

Tworzymy funkcję i|) ¹ f + x.g, gdzie Jest stałę i szukamy ekstremów lokalnych tej funkcji. W tym celu wyznaczamy wszystkie rozwiązania (a_1#...,a_n, ¹») układu złożonego z n równań (9.9) i dołgczoncgo do nich warunku (9.7). Wówczas otrzymujemy punkty a ¹ (a^,...,a_n), w których funkcja f może mieć ekstremum warunkowe przy warunku (9.7). Poprzez dodetkowę analizę stwierdzamy,czy otrzymane punkty sę punktami ekstremum warunkowego.

Opisanę procedurę nazywamy metodę mnożników Lagrange^yą. W dalszych wykładach zobaczymy jak możne Ję uogólnić na wypadek, gdy warunek Jas: postaci (9.6).

Przykład

3

Aby wyznaczyć eketremua funkcji f:R 3 (x,y,z)—•-x - 2y + 2z przy wa-

9    . % 9    O

runku g(x,y,z) ■ x ♦ y ♦ z - 9 ■ O tworzymy funkcję

$ » f ♦ X. g:R³3 (x,y,z) —¹■ x - 2y + 2z ♦ X.(x²+y²+z²-9) i rozwiązujemy układ równań

(¹.y»¹) ■ 1 ♦ 2 X ¹ x • O ^ (x.y.¹) ■**2¹2X.y«0

^ (x,y,z) ¹ 2 ♦ 2X . z - O g(x,y,z) - x² ♦ y² ♦ z² - 9 - O

Otrzymujemy punkty A • (a^a^a^JCj) - (-1,2,-2. j) i B > (bj.bj.bg^).

“ (1.-2,2, ; j), Łatwo sprawdzamy, że w obu tych punktach Jest ł O. Oruga różniczka funkcji $> me postać

d² (x,y,z) -    (x,y,z)(dx)² ♦ £-i-(x,y,z) (dy)² ♦

dx¹    dy¹

1

~|“(x»y.¹)(dz)² ♦ 2 |_x-|y (x,y,z)dx.dy ♦    (x,y,z)dx¹dz ♦