10 (64)

215

Formy różniczkowe

podczas gdy

2n

\ydx = — jabs\n²t dt = —nab.

ł

o

Zauważmy, że Jxdy jest równa polu powierzchni ograniczonej krzywą y. Jest to przypadek

szczególny twierdzenia Greena.

c) Niech D będzie prostopadłościanem w R³ określonym przez 0 < r < 1,0 < 0 ^ rr, 0 ^ < <p ^ 2n. Niech <P(r, 0, q>) = (x, y, z), gdzie

x = rsinOcosy, y — rsindsin <p, z — rcos0.

Wtedy

Zatem

(36)

J dx a dy a dz = J ^ _# = § ze.

Zauważmy, że $ odwzorowuje D na kulę jednostkową w( R³, że odwzorowanie to jest 1:1 we wnętrzu D (lecz zlepia pewne punkty brzegu D) oraz żc całka (36) jest równa objętości 4>(D).

10.13. Elementarne własności k-FORM. Niech co,, co₂ będą k-formami na E. Piszemy co, = co₂ wtedy i tylko wtedy, gdy co,(4>) = co₂($) dla wszystkich /^-powierzchni <P w E. W szczególności co = 0 oznacza, że <jo(<P) = 0 dla wszystkich k-po wierzchni w E. Jeśli c jest liczbą rzeczywistą, to cco jest k-formą, zdefiniowaną wzorem:

(37)    Jccoscjco,

a co = co, + co2 oznacza, że

(38)

Jco= jA+fco*

dla wszystkich k-powierzchni # w E. W szczególności k-forma - co jest zdefiniowana następująco:

(39)

J(-co)= -Ideo.

Rozważmy k-formę

(40)

co

a(x)dx_ii a ... a dx_it

i niech <h oznacza fc-formę otrzymaną przez zamianę miejscami pewnej pary indeksów w (40). Łącząc (35) i (39) z faktem, że wyznacznik zmienia znak przy zamianie miejscami dowolnej pary wierszy widzimy, że

(41)

co = — co.