10 (66)

217

Formy różniczkowe

(47jj> V* m ■    (O= Y;b,(Wx}, ^f

w której sumowanie rozciąga się na wszystkie rosnące k-indeksy 1. (Oczywiście, każdy rosnący k-indeks / powstaje z przedstawienia wielu różnych (dokładnie k!) ciągów.) Każdy współczynnik b, w (47) jest więc sumą wielu współczynników, które w y stępo wały w (34). I tak na przykład

x_tdx₂ Ad£₁—x₂dx₃Xdx₂+x₃dx₂ a dx₃+dxi a dx₂ , jest 2-formą, której postacią standardow ą jest

(1—x₁)dx_J Adx₂+(x₂+x₃)dx₂ a dx₃.

Jednym z głównych powodów wprowadzenia postaci standardowej jest następujące twierdzenie o jednoznaczności:

10.15. Twierdzenie. Niech

(48)

i

będzie postdcią standardową k-formy (ona zbiorze otwartym E R^H. Jeżeli (o = 0 w E, to dla każdego rosnącego k-indeksu I i każdego x e £ mamy bfa) = 0.

Zauważmy, że analogiczne sformułowanie nie jest prawdziwe dla sum o postaci (34), gdyż na przykład

dxi a dx₂-E_:dx₂k^rdx₁ = 0.

Dowód. Dowodząc przez sprowadzenie do niedorzeczności, załóżmy, żę fe_;(v) > fi dla pewnego v 6 £ oraz pewnego rosnącego k-indeksu J == tik}- Ponieważ bj jest funkcją ciągłą, więc istnieje h 0 takie, że bj(x) > 0 dla wszystkich x e Rⁿ, których współrzędne spełniają warunki u,} < h. Niech D będzie prostopadłościanem w R^k określonym przez warunki: u e D wtedy i tylko wtedy, gdy |u^ h dla r == jk.^kreślmy .

k £P

(49)    <P(n) =^u^+^ u,e'j_r (ii e'D).

r~ 1

Wtedy <P jest fc-powierzchnią w £, której dziedziną parametrów jest D, oraz b_} ($(u)).> Odia każdego u e D.,

Twierdzimy, że ,

(50)    *** t

jg . ⁵®||P

O ile tak jest, z uwagi na to, że prawa^triSna(50) jest dodatnia musi być c@($) # ©. Zatem otrzymujemy sprzeczność. Aby wykazać (50), zastosujmy (35) do postaci (48), tj. obliczmy jakobiany występujące w (35).'Na mocy (49)

i,