10 (68)

219

Formy różniczkowe

10.17. Mnożenie. Niech co i A będą odpowiednio p-formą i g-formą określonymi w otwartym podzbiorze E <= R”, posiadającymi postacie standardowe:

(56)    co =    V $ = '£c.j(iCidxj,

gdzie 1 przebiega zbiór wszystkich rosnących p-indeksów, a J rosnących ^-indeksów o wyrazach z {1,..., nj.

Iloczyn tych form oznaczony symbolem co a X jest zdefiniowany jako

(57)

a) a A = £fc/(x)C/(x)dx/ a dxj. i ■

W sumie tej / oraz J. przebiegają niezależniewszystkiedopuszczalne swoje wartości, a dx, a ma znaczenie jak w p. 10.16.roA A jest więc (p-h<g)-formą na £.

Nietrudno sprawdzić (szczegóły zostawimy czytelnikowi jako zadanie), że zachodzą prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania

(coi+to₂) aA = (roi! a A) + (co₂ a A)

oraz

coa(A,+A₂) = .(coa Aj)+ (co A Aj).

Łącząc te prawa z udowodnionym poprzednio prawem łączności (55), otrzymujemy, że (58)    (co a A) a ar = "co a (A a tr) -

dla dowolnych form co, A, o na £.

W powyższej dyskusji milcząco zakładaliśmy, że p ^ li<? > 1. Iloczyn 0-formy/i p-formy co danej wzorem (56) definiujemy po prostu jako formę

f(o = co/ = 2j(x)b,{x)dx,.

T

Zwyczajowo pisze się/co zamiast / a co, w przypadku kiedy/jest 0-formą.

10.18. Różniczkowanie, definiujemy teraz operator różniczkowania d, który każdej k-formie klasy V na E przyporządkowuje (k+ l)-formę na E c Rⁿ.

0-formą klasy ‘ćfna £ jest funkcja rzeczywista / e *<?'(£). Dla tej formy definiujemy

(59)    # = l(D_lf){x)dx,

. ...    j»₂: *>

Jeśli co = J]6_/(x)<fx, jest postacią standardową fc-formy co, przy czym b_t s *<?'(£) dla dowolnego rosnącego k-indeksu J, to położymy

(60)

dco = £(db,) a dxj.