100d29

&*JL

ł

j u*

Irl-

Zamknięte

1.

2.

3.

4.

Otwarte

1.

gdzie:

Macierz przekształceń.

-allx + al2y + a.f3z - a21x'+ a22y Va23z “ a3ł\+ a32yA n33z

Dla każdego istnieć ciernej a • x ■ x • a

2.

12.

x'

y

z'

X*

y'

z'

odwrotnej j jest ■■

ponownie odbicie zwierciadlane, natomiast Odwrotnością inwersji jest w | analogiczny sposób inwersja.

s_} mętń\ <HWfc|mŁr —    klasy

«    n metrii.

“'* *(*' I    ’    Nouttlt

la tura

iqb

I.    Cnm zaimulc sit

krystalografia.

Krystalografia geometryczna - opisuje kmztały stosując geometrię cuklidcsową.

Krystalografia strukturalna - stosuje element) geometrii i teorii grup do analiz)' struktury kryształu; pozwala w sposób wyczerpujący opisać strukturę kryształów,

Krystalografia fizyczna - opisuje właściwości fizyczne kryształów w powiązaniu z ich strukturą, traktuje właściwości kryształu jako konsekwencję struktury.

2.    Pgłccic kryształu.

Definicja fenomenologiczna -kryształem nazywamy substancję stalą, która wykazuje anizotropię przynajmniej jednej jego właściwości fizycznej.

Definicja strukturalna * kryształ to substancja stała zbudowana z atomów, jonów lub cząsteczek uporządkowanych w czasie i przestrzeni.

Definicja morfologiczna - kryształ to ciało stałe posiadające swój własny kształt (postać).

Definicja rentgenostrukturalna - każda substancja, na której ugięciu ulega promieniowanie rentgenowskie (promieniowanie X) jest kryształem.

Definicja genetyczna - kryształ to substancja, dla której przejście od stanu stałego do ciekłego (lub odwrotnie) jest przemianą fazową zachodzącą w ściśle określonej temperaturze zwanej temperaturą topienia (krzepnięcia).

3.    Sieć przestrzenna a sieć

krystaliczna.

Sieć krystaliczna - sposób wypełnienia atomami przestrzeni tak. Ze pewna konfiguracja atomów zwana komórką elementarną jest wielokrotnie powtarzana. Same atomy, z których się składają komórki ułożone są w określonym porządku. Porządek ten daje się stosunkowo prosto opisać przez podanie własności symetrii. Przekształceniami symetrii są translacje, obroty, inwersja, obroty mwersyjne i płaszczyzny odbicia.

4.    Równanie i wskaźniki

prostej sieciowej.

Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (punkt 0,0,0) oraz punkt stanowiący węzeł sieci, o współrzędnych ua,vb,wc (gdzie u, v, w są liczbami całkowitymi) musi spełniać równanie ogólne prostej postaci;

x:y:z-

m : p ; k

Współrzędne każdego punktu leżącego na prostej muszą spełniać powyższe równanie, zatem:

x ; y : z • ua

: vb: wc

x/a : y/b : z/c

- u : v : w

Trzy liczby całkowite, względem siebie pierwsze [uvw] jednoznacznie określają kierunek prostej sieciowej. Liczby te nazywamy wskaźnikami prostej.

Wskaźniki powinny być liczbami całkowitymi, względem siebie pierwszymi.

Wektor

A„vw| =ua+vb+wc

przekształca punkt 0,0,0 w punkt o współrzędnych un,vb,wc

5.    Równanie I wskaźniki

płaszczyzny sieciowe!.

(osiami możemy zapisać, że suma rzutów wektorów składowych jest równa odległości płaszczyzny od początku układu współrzędnych;

xcosji + ycosv + z cos£ = n

xcosjt + ycosv + z cosł; ■ 0

dla [U|V)W|] i (ujv₂wj1 otrzymujemy

U|8 cosji + vjb cosv + \V|C cosł; ■ 0 U₂8 COSJi + v₂b COSV + WjC cosł; = 0

a cosji: b cosv: c cos£ - h: k: I

Liczby h, k i I wskazują, ile razy odcinki odcięte na osiach X, Y i Z przez pierwszą od węzła 0,0,0 płaszczyznę sieciową w komórce elementarnej są mniejsze od periodów identyczności.

6.    Komórka zasadnicza

(elcmentarnał.

Komórka elementarna - najmniejsza, powtarzalna część struktury kryształu, zawierająca wszystkie rodzaje cząsteczek, jonów i atomów, które tworzą określoną sieć krystaliczną. Komórka elementarna powtarza się we wszystkich trzech kierunkach, tworząc zamknięta sieć przestrzenną, której główną cechą jest symetria. Komórka elementarna ma zawsze kształt równoległościanu.

Poprzez translacje komórki elementarnej o wektory będące całkowitymi wielokrotnościami wektorów sieci krystalicznej otrzymuje się całą sieć krystaliczną kryształu.

8.    Odległość miedzvnlas7-czvznowa (natrz rys, w Pkt. S.)

Dla dowolnej płaszczyzny w układzie

prostokątnym;

cos² ji + cos² v + cos² ^ “ 1

długość normalnej dla pierwszej od

początku układu płaszczyzny

o wskaźnikach (Md) wynosi dui. więc;

cos ji - dł*i / (a/h), cosv = du.|/ (b/k), cos { = dhu / (c/1)

1/ d²hu " h²/a² + kW + l²/c²

9.    Prawa krystalografii. Prawo stałości kątów (prawo Sieno)

lua O'

Kąty między analogicznymi ścianami, zmierzone na różnych egzemplarzach kryształu lej samej substancji w jednakowych warunkach fizykochemicznych tą stale, niezależne od wielkości kryształu.

Prawo równoległości ścian

Naturalne ściany zewnętrzne kryształu (jeżeli są wykształcone) są zawsze równolegle do płaszczyzn sieciowych, a krawędzie tych ścian - do prostych sieciowych kryształu.

Prawo wymiernych wskaźników

|,^v^ Naturalne ściany kryształu znajdującego [O' się w równowadze termodynamicznej Sz otoczeniem mają zawsze wskaźniki całkowite i niewielkie.

[Prawo stałości typu

Substancje zdefiniowane pod względem fizycznym i chemicznym (o tych samych właściwościach i składzie ^chemicznym) mają zawsze ten sam typ L7sieci, niezależnie od pochodzenia czy m sposobu otrzymywania próbki.

Prawo polimorfii

Substancje o tym samym składzie chemicznym, lecz wykazujące różnice właściwości fizycznych mają zawsze odmienne struktury.

10.    Przekształcenia

izomeiryczne.

Przekszta (cenie izometryczne (z grec. izo- ten sam, metri -odległość;) to przekształcenie, które w wyniku jego zastosowania nie powodu je zmian odległości między dwoma dowolnymi, przekształcanymi punktami: ł T(r) I gdzie:

I r I - odległość między dowolnymi dwoma punktami,

| T(r) | • odległość między tymi samymi punktami po przekształceniu T II.    Oneracie symetrii

możliwe w sieci krystalicznej.

oś obrotu

centrum inwersji (symetrii) płaszczyzna symetrii oś inwersyjna (obrót i odbicie w centrum)

□I

oś śrubowa (obrót + translacja)

płaszczyzna poślizgowa (odbicie + translacja)

all	i. a 12	al3	X
a2r	a22	a23	* y
a3l	a32^N	va33	z

x ,y, t - współrzędne wyj

P;

x‘, y j' - współrzędne punktu P po przekształceniu (czyli punktu BI

whR HS) f """ ł \ i i r - ł ♦	I 1 • f ł dfeu» I #' €j
	11 — i
Dla obrotu (1001
1 0	0
0	costp -simp
0	sintp costp
fOIOJ
costp 0	sintp
0 1	0
-strup 0	costp
1001)
costp -simp	0
simę costp	0
0 0	I

Ot Mmtn		Ol rymmer*		i ‘I
Km	• -1 • 114 1	w	nu Iii# • • 4	i-fTTn I hm • -* ■ j 1 | 1
: hm	| • I • | I 1 f • 1 • H ł		■nr rT i • *i • • •	—Trm 1 • • i i • i •
^ N	• i Ił N H I 0 • -1 1	hm	ji ar 11 4 f 14 • •	; 4 * # t toffi
Km	<14; • 1 • l	hm	#    i i ^1 •    i • 14 • # 1	jlTTl * 1 hm 1 • • • * [* • »
' 1	r* •*» * •■14 #1 f ^9 f !	V* I	TH j i • • 1 • * • 1	^1 4<* 9 $ $ \ 4 m!
«•* j	• t 1 1 M 1	V« 1	yp i t #4 I 4 <1 |	~—^rVTST V. > • tł

Sprawdzenie onogonalności macierzy

Zsumowane kwadraty wartości w jednym wierszu muszą się równać ł Iloczyn każdych dwóch wierszy musi być równy 0

13.    Iloczyn

przekształceń.

Istnieje operacji »•", która parze elementów a • b przyporządkowuje element c zwany iloczynem. Operacja ta nie musi oznaczać zwykłego mnożenia

algebraicznego, gdyż niekoniecznie a • b ■ b • a ale musi być spełniony warunek

łączności czyli: a,* (b • cY- (a • b) • Warunek ten spełnia kajny iloczyn dwóch

dowolnych zamkniętych operacji symetrii.

Iloczyn dowolnej pady elementów grupy jest również cfemańem tej grupy, czyli iloczyn dwóch operacji symetrii jest również operac/ą symet

Grupa jako zbiór zawiera ele jednostkowy I, który pozostawiaj mnożony / czynnik niezmieniony: a • E - E Element jednostkow> nazywamy identycznością, w przypadku i symetrii operac/ą identyczności jest obrót właściwyo 360o.

lementu grupy „a musi ■odwrotny ,,x” taki. Ze UE, taki element odwrotny [o x - a'¹, gdyż zawsze kładem operacji odbicia zwierciadlanego