24 25 (19)

M    Przestrzenie liniowe

gdzie: a £ 72, wektor (0, 1, 1) nie jest kombinacją liniową.

2.2    Wektory są liniowo a) zaJeżne; b) niezależne zależne; c) zależne, niezależne: d) zależne, niezależne; e) zależne; f) zależne.

2.3 a) (1,1,1) = (2,3,4) -(1.2,3). b) z⁴ - r³ -ł- x³ - x + 1 = (i⁴ + r³ -ł- z⁷ +1 + i) -

(x^a + X² + x) - (i³ - x² + i); c) sin (j - z) = ^sin ( y “ *) “ T ^sin x; d) 1 =

2    2

— aresm i + — arccos z. r    r

2.4    Wektory są liniowo a), b), c) niezależne, d) e) f) zaleznc

2.5    e*} wektory są liniowo zależne.

Trzeci tydzień

Baza i wymiar przestrzeni liniowej (1.4).

Przykłady

Przykład 3.1

Opisać (geometrycznie lub słownie) zbiory lin A dla

a)    A - {(1.3,1), (0,5,2)} C R²

!]}

M_2i

b)    A = {x,x³.x^s,x⁷} C ®[r];

c)A

Rozwiązanie

a) Warny

lin A - (s(l, 3 l) + t(0,5,2) : s,t € R) = {(s, 3s + 5t, s + 2t) : s,i e R)

Ponieważ wektory (1, 3,1), (0,5,2) są niewspółliniowc, więc zbiór lin A jest płaszczyzną w R* o równaniu parametrycznym x = a, y = 3s + 5t, z = s + 2t (lub ogólnym x — 2y + 5z = 0)-

b) Tutaj

lin A = { ar -t- bx³ + cx⁵ -f dr⁷ a, 6, c, d £ R}

Niech wielomian p € lin A. Wówczas p(-z) = —p(z). Niech teraz p₁ będzie wielomianem stopnia nie większego niż 7 o własności j>,( —z) = —p,(x), czyli

p,(z) = a7Z +    + aji¹ ł a<z⁴ + ajz³ -f 02x² -f fii z + ao, a, € R, 0 ^ 1 ^ 7.

Z warunku pj(—x) -r pj(x) = 0 wynika, że a« = <*4 =    ⁼    = 0. Zatem p_} £ lin A.

Oznacza ta, że zbiór lin A składa się ze wszystkich wielomianów stopnia nie większego niż 7 będących jednocześnie funkcjami nieparzystymi.

c) W tym przykładzie

lin A = < a	10'		‘ 0 0
				+c
l	0 0		0 2

Trzeci tydzień - przykłady

Otrzymaliśmy zatem zbiór wszystkich macierzy symetrycznych stopnia 2.

•    Przykład 3.2

Znaleźć generatory podanych przestrzeni liniowych

a)    V = {(z — 2y, x + y + 3z y - Az, 2x -ł- z) : x,y,z 6 R}

b)    V={(_I:V,z)€iE³:| = |=_:f_r};

c)    v={_Pei*4*| p(i) + _P'(0) = p'(i) + p"(0) = 0}.

Rozwiązanie

a)    Dowolny wektor t* € V można zapisać w postaci

v = r(l, 1,0,2) + y(-2,1,1,0) + *(0,3, -4,1), gdzie z, y, * € ił, zatem

V= lin {(1 1,0,2),(—2,1.1,0),(0,3, —4.1)> .

b)    Warunek definiujący zbiór Vjest równaniem kierunkowym prostej o równaniu parametrycznym x — 2$, y = 3s, * = —a, a więc

V- {(2s, 3s, —s) s € ił} = lin ((2,3,-1)}.

c)    Niech p G V. Wówczas p(z) = az⁴ + bx³ 4- cx² 4- dr — e. Z warunków

p(l) + p'(0) = a -4- ł> + c+ 2d + e = 0, pil) + p"(0) = Aa 4 U + 4c + d = 0

wynikają równości d =    -4a - Zb — 4c, e = 7a + 56 + 7c,    gdzie    a, 6, c £ R.    Zatem

p(x) = a    (r⁴ - 4r + 7) + b (z³ - 3x + 5)    +    c    (r² - 4r +    ?)    .

Oznacza to, że V= lin {x⁴ — 4r 4- 7, z³ — 3x + 5, r² — 4z + 7} .

•    Przykład 3.3

Sprawdzić z definicji, czy podane zbiory wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych:

a)    B = {(1,0,1),(1,2,2)}, R³,

b) S= {(1.0,1),(1,2,2),(0,1,1)}, R³;

c)    B = {(1,0,1), (1,2,2),(2,2,3)}, R³,

d) B = {(1,0,1), (1,2,2), (0,1,1), (2,3,4)}, R³-

e)    B =    {x² + l,x² +    2x + 2,x+ 1} , il₂(x];

f)    B=    {r² + 1. x² +    2x + 2,2x² + 2x + 3} , itj[x]

Rozwiązanie

Zbiór B C V jest bazą przestrzeni liniowej V. gdy jest on liniowo niezależny i generuje tę przestrzeń.

a) Zbiór B jest liniowo niezależny, aJe nie generuje przestrzeni Ił³, gdyż np. wektora