26 27 (19)

26

Przestrzenie liniowe

(0 0.1) nie da. się przedstawić w postaci kombinacji liniowej danych wektorów. Nie jest to więc baza przestrzeni fi³.

b)    Zbiór B jest liniowo niezależny. Niech v — (x,y,z) 6 fi³ Szukamy współczynników u, 6, e£ R takich, że v = a(l, 0, 1) + 6(1,2, 2) 4- e(0,1,1). Otrzymujemy układ równań

( ^a + 6    = r

<    26 + c = y ,

^fl + 26+c=z

który jest układem Cramcra o niewiadomych a,6,c. Stąd wynika, że zbiór B generuje przestrzeń R³, zatem jest jej ba2ą.

c)    Zbiór B jest liniowa zależny, bo np. (2, 2, 3) =(1,0,1) —(1,2,2). Nie jest on więc bazą przestrzeni fi¹.

cl) Zbiór B generuje przestrzeń R\ bo zawiera on wszystkie wektory z przykładu b). Jednak me jest on bazą R³, bo np. zachodzi związek (2,3,4) = (1,0, 1)+(1,2,2)+(0, 1,1) przeczący liniowej niezależności tego zbioru.

e)    7j równości a (x² -j- l) 4- 6 (z³ + 2z + 2) + c(x + 1) = 0 wynika, ica + b — 2b + c =

a 4- 26 -ł-c = 0, więc c = b = c = 0. Oznacza to liniową niezależność zbioru B Niech tera2 p = ax² -r 0z 4- 7 € 722(2:]. Wówczas dla a = y — 0, b = a +    — 7, c = —2o — 0 + 2y

zachodzi równość

p(x) = a (z² 4 l) + 6 (z² + 2x + 2) + c(x + 1).

Zatem lin B = R₂[x] i B jest bazą.

f)    Zauważmy, że 2z² 4 2x 4- 3 = (r² + l) 4- (r² -ł- 2x + 2) . Zbiór B nie jest więc liniowo niezależny i nie jest bazą przestrzeni fijfz].

Trzeci tydzień - przykłady

27

wynika, ze

(a + 2b — Qi) bi + (—2a — 6 — 3c — a?) tz + (a + c — aa) 63 = O.

Korzystamy ponownie z liniowej niezależności wektorów bazy 61. 62, 63 2 otrzymamy układ równań:

( a + 2 b    = a 1

< —2a — 6 + 3c = aa .

\ a    + c = aa

Jest to układ Cramera o niewiadomych a,b,c. Istnieje więc jednoznaczne rozwiązanie tego układu. Stąd wniosek, że V = lin {tłj, u₂,    }, czyli wektory *1, t*₂, »a tworzą

bazę V.

• Przykład 3.5

Obliczając odpowiednie wyznaczniki sprawdzić, czy podane zbiory wektorów są

bazami podanych przestrzeni:

a) i?i = (3,2), t>₂ = (-6,4), R²\

bi r, = (3,2,0),    = (4,2, —l),    = (1,2,2), R³;

c) », =(1.0,0,1),=<1.2,2,1),*₃ = <5,4,4,5),«« = <0,0,1,1), R⁴

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu, że n wektorów tworzy bazę przestrzeni liniowej Rⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy ich współrzędnych kartezjańskich jest różny od zera. Element leżący w i-tym wierszu i ;-lej kolumnie tej macierzy jest j-tą współrzędną i-tego wektora.

a) Jest to baza, bowiem

-6 4

³    2    24 *0.

b) Z

= 0 wynika, ze rozważane wektory nie tworzą bazy prze-

strzeri R³

c) Podobnie z równości

1	0	0	1		1	0	0	1
1	2	2	1		0	2	2	0
5	4	4	5		0	4	4	0
0	0	1	1		0	0	1	1

= 0 wynika, że damę wektory

nie tworzą bazy przestrzeni R^Ą

• Przykład 3.6

Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych:

a)    V = {(2x, x + y, 3r - y, z - 2y) : r.yGfi).

b)    V= {(r —2s —<,2r+s —3*,3r + 4s —5f): r,s,te R} \

c)    v- {(x,y,z,i)£ ^rĄ : * + y =    ;

<ł) V= {p e lLi[x] : p(l) + pC-I) = p'(0)}

e)    V = {x € AT3x3 ■ A + 4^r = o};

f)    V= lin {l,sin²x,cos2x,cos²r} . przy czym VC C(R).