Scan10016

Zauważmy, że i²=(0,lX0,I)*(^-l/0)=-l

Każda liczba zesDoiona (a,b) da się przedstawić za pomocą liczby „i" oraz liczb (a,0),

€b,0):

x=(a,b)=(a,0)+(b,0>l

Stąd krótko: z=a+bi, np. z=2+i, z=3-4i.

Otrzymaną postać nazywamy postacią icartezjanską (algebraiczną) liczby zespolone; Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą iiczby z i oznaczamy Rez (czyt. realis).

Liczbę b nazywamy częścią urojoną iiczby z i oznaczamy Imz (czyt. imaginaris).

jeżeli Rez=0 to liczbę nazywamy czysto urojoną, jeżeli lmz=0 to liczbę nazywamy czysto rzeczywistą.

Mamy też:

|N ⁼''»g¹ +ł>²! -moduł liczby zespolonej Z — Cl Ol. _|j_C2ba sprzężona do z

Działania na liczbach zespolonych (w postaci kartsziańskiefj

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonujemy tak ja* cc e ^: na dwumianach z uwzględnieniem, że -²=-l,

V *2 = (^a\ + ĄO ‘ (^a2 + b₂i) = a_}a₂ + afi₂i + b_xa₂i + b₎b₂ = (a,u, - b,_b₂) - (a,b. -

—1

np.{\ - li) • (2 + 0 = 2 + /- 4 i -2i², = 2 + 2+ (1-4)/= 4-3;

J. *

___Zj + z₂ = (<2j + 6j/) + (a₂ + fejf) = <3, + a₂ + (i>i + ft₂)i

np.3 + 4/ + 5 - 2/ = 3 + 5 + (4 - 2)i = 8 + 2/

/²⁰ = (i²)¹⁰ = (-1)¹⁰ = 1 /” = /^,6-/ = (/²)⁸-/ = (-l)⁸-/ = +/

(±1 ± i)² = 1 ± 2/ -1 = ±2; z = 2-; => 7=2 + /; z = 3 => 7=3 z = 3 + ; =? |z:=V9 + l = ,/K) z = 2/ => ;zj =2; z = -1 => |z| = 1

Dzielenie liczb zespolonych fw postaci karfeezfańskieil

Aby podzielić z_x przez z₂ należy je jednocześnie pomnożyćIfprzez ^z2 (czyli liczbę sprzężoną będącą w mianowniku):