74 (195)

156    jW»:;i Przekształceń

Dwunasty tydzień

Przykłady

> Przykład 12.1

. wmfflfflmmMMMmmmmmmrni

Korzystając z własności przekształcenia Lapalce’a wyznaczyć transformaty podanych funkcji:

^a) m — chwt; b) /(<) = cos uit — uit sinud; c*) /(O = -^h- Y^{7 1};    d*) /(<) = j ~^2tt~ ¹ dr.

Rozwiązanie

W dwóch pierwszych punktach wykorzystamy fakt o różniczkowaniu transformaty, tj. wzór

^(_1)"^^{G(a) = £{<n!7(<))l}

gdzie G(s) = £ {«?(<)} i n g N.

a) Przyjmując w podanym powyżej wzorze g(t) = ch uit oraz n — 2 oraz wiedząc, że

£ { ch uit) = —-- mamy

s* — ui²

£{t²chu,t}=(-i)²-£

i

ds² 3² — Ul²

Ponieważ

2s³ + 6 su;²

ds²s²-u²    (s²-u;²)³’

więc

£ {f² chtat} =

¹    '    (s²-u;²)³

b) Zauważmy, że /(<) = (tcosuit)'. Ponieważ £{cosu;<} = -5—^:-—r-, więc przyjmując we wzorze podanym na wstępie g(t) = cos uit oraz n = 1 mamy

£ {t cos uit) = — -

d s    s² — ca²

ds s² + w² (_s2    u²)²

Korzystając teraz ze wzoru na transformatę pochodnej otrzymamy

£ (cosuit — uitsinu;t} = £ ((tcos uit)') = s-*

¹    rur/ (s²+u;²)²

2    2    3    2

3    — LU    q _    3    — 3LU

(s² + U/²)

21² '

c) W tym przykładzie korzystamy ze wzoru

^£{^}⁼ ]^G{a)da'

s² — 4 s '

Dwunasty tydzień - przykłady

gdzie £{y(t)} = G(s). Ponieważ

£ { ch 2/ — 1} =    ⁵

więc korzystając z podanego wzoru mamy

157

l^p
= lim
J s Re p—oo	2 a^2

^P = ^l°g

2    ° s² - 4'

d) W tym przykładzie korzystamy ze wzoru

^C{l ^9{r)dT] ⁼ ^¹’

gdzie £{y(/)} = G(s). Ponieważ

. / ch 2t - n 1 . a²

^c\—— } ⁼ 2^los?^

(patrz przykład c)), więc

dr V = log ⁵

J ch 2r — 1

2s j^j-4

a) f(t) =

Naszkicować podane oryginały i znaleźć ich transformaty Laplace’a: i —In dla In ^ t ^ 2n -(-1, gdzie n = 0,1,2,..

0    poza tym;

b) /(O = |cos<|.

Rozwiązanie

a) Wykres funkcji f(t) przedstawiono na rysunku poniżej.

y i

Funkcja f(t) jest okresowa i ma okres T — 2. Skorzystamy ze wzoru

L {/(<)} =

Ft(5)

1 - t~*^T '