4517

60

Zadania

Wielomiany

Piąty tydzień - odpowiedzi i wskazówki

61

O Zadanie 5.1

Podać przykłady wielomianów zespolonych najniższego stopnia, które spełniaj podane warunki:

a)    liczby 0,1 -5i są pierwiastkami pojedynczymi, a liczby -1, -3+i sa pterwis^. kami podwójnymi tego wielomianu;

b)    liczba —4(; jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 3, —5 pierwiastkami potrój, nyini tego wielomianu.

O Zadanie 5.2

Podać przykłady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, które spełniają podane warunki:

a)    liczby 1. -5. oraz 1 — 3i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu;

b)    liczba 1 +ijest pierwiastkiem pojedynczym, liczby -i oraz 3 są pierwiastkami podwójnymi, a liczba —4 + 3f jest pierwiastkiem potrójnym tego wielomianu.

O Zadanie 5.3

Podane wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianów: a) z^J - 2iz — 10; b) s* +$:* + 6; c) z³ - 6z - 9.

O Zadanie 5.4

Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nicrozkładalnych czynników rzeczy wiaty ch:

a) *• + 8; b) z« + 4; c) x⁴ - x^a + 1; d) 4*⁵ - 4x^Ą - 13*³ + 13*^ł + 9* -9.

O Zadanie 5.5

Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych:

O Zadanie 5.8

Podane zespolone funkcjo wymierne właściwe rozłożyć na zespolone ułamki proste: •^a—    z    v 16i i z^ł+2»

^d)

•)

(r-l)(x + 2)(x + 3)^{: b)} (** - 1)*' ^C) «^+4^{; d)} (|a+2r + 2)*'

O Zadanie 5.9

Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki praste:

*)

12

b)

(x-lH*-2)(r-3)(x-4)’

^d)

O Zadanie* 5.10

z«-l*

x^ł + 2r

(x* + 2x + 2)¹

*)

x⁵~3x^a + x *3 + 4s*+i^;

*>)

a?° -h 3 x* + 4^:

c)

£⁴ + 2z⁸ + 3ar² + 4t + 5 r³ + 2*^a + 3x + 4

O Zadanie 5.6

Zaproponować rozkłady podanych zespolonych funkcji wymiernych właściwych aa zespolone ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników):

Niech punkty Pi.Pj,..., P„, gdzie n £ 3, będą wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R = 1. Obliczyć:

a)    |Pift|^ł + IPkftP + IPiFel* + -+ iPiPnj²;

b)    • Iftfti ‘ łPlPsI • - • - • |PlPn| -

Odpowiedzi i wskazówki

5.1    a) W{t) *= ci • (z + l)^ł. (, - I + 50 • (z + 3 -1)*. Kdfie e € C\ (0); b) W(r) = c • (x - 3)’ • (f + 5)* - (z + 4i)^a. gdzie c 6 C\ (0).

5.2    a) W(z) «= a(x - l)(x + 5) (* + >/5) (*^ł - 2x +10). gdzie a € Jł\ (0); b) W(x) w a(x - 3)⁹'(x* + t)* (x^ł - 2x + 2) (z* + 8* + 25)*, gdzie a € R \ (0).

5.3    a) (i - (i + 3)] • [z - (i - 3)]; b) (z - V5i) z + s/5i) (« - %/5i) (z + s/3i);

6.4 a) (x* + 2) (x^a +V5X + 2) (x^a - y/6x + 2); b) (x* + 2* + 2) (x^a - 2* + 2)

c)    (x^a - V5x + l) (x^a -f \/3t + l); d) (r - 1) (2x^a + 5r + 3) (2*^a - 5t + 3) .

]l .    .    5

6.5 a)

⁴*⁺¹⁸ «P^b>¹ - rer‘•» *⁺jręwrim-

*)

^ +

*>)

~' + r

*»(z-20⁵’ (z + l)(x + i)*(* “ (1 + 01*'

i*+ 7

O Zadanie 5.7

Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników): g*+2*-7 _M ^-ąg-4 j    x* + z³

Ą*-l)(r + 5)³’    ' (z² + 4) (z² +1 + 3)³ ’ ^C) (z + 3)² (z⁵ - 4r + 5)*

^s“> T⁺1 + rrs + prW ⁺ A-    ^c'^b>7TT^ł

•“'*■*&■*■*⁶ «

c) - _ + ^B . C , b    E    F    G

(z - v^2)^ł * + >/3 (, + ^)^S    (x - iV5)³ *W2

(*ł»V5)^f' gdzie A,B,C, D, E. F,G, U € C.

T⁺?    *^BCDB-^r e    7T7⁺