9515746001

6. Wielomiany

Zadanie 6.1. Podać przykład trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych, 4    4

którego pierwiastkami są liczby-i-~

2 + v3 2 — v3

Zadanie 6.2. Naszkicować wykres i omówić własności funkcji y = x². Obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem podanej funkcji kwadratowej /, zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej oraz narysować tę parabolę:

a) /(x) = x² — 5x + 6, b) f(x) = Sx — x².

Zadanie 6.3. Rozwiązać równania i nierówności:

a) x² — 25 = 0, b) x² + 7x = 0, c) 3x² — 4x + 1 = 0, d) x² — 6x + 9 = 0,

e) x⁴ — 3x² + 2 = 0, f) 16 - x² < 0, g) x² - 4x + 3 > 0, h) x² + 9 > 0, i) x(x + 1) < 6.

Zadanie 6.4? Obliczyć sumę współczynników wielomianu

W(x) = (9x⁵ - 5x² - 3)¹⁰⁰⁰ • (4x³ - 7x² + 2x)^im .

Zadanie 6.5. Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba x₀ = y/2 + \/3.

Zadanie 6.6. Dla jakich wartości k, l, m wielomiany 4x⁴ + 2mx³ — (Ah + l)x² + 4/x + 36 oraz 4x⁴ — (2 — m)x³ — (5k + m)x² + {2k — m)x + 36 są równe?

Zadanie 6.7. Obliczyć iloraz wielomianów:

a) (x³ + 4x² + x — 6) : (x + 2), b) (6x⁴ — 7x³ — 13x² + 23x — 12) : (2x — 3).

Zadanie 6.8. Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu:

a) x⁴ - 2x³ + 4x² - 6x + 8 przez x — 1, b) 2x⁴ - 3x³ + 4x² - hx + 6 przez x² - 3x + 1.

Zadanie 6.9. Rozwiązać równania:

a) x³ — 5x² — x + 26 = 0, b) x⁴ — x³ — 20x² — 8x + 40 = 0, c) x³ + 2x² — 16x — 32 = 0, d) x⁴ — 2x³ + 4x² — 6x + 3 = 0.

Zadanie 6.10. Rozwiązać nierówności:

a) (x    —    2)(x — 3)(x — 12) > 0,    b) (2 — x)(x + 1)²(3 — x)³ < 0, c) x⁴ > 1,

d) x⁴    —    6x³ + 9x² + 4x — 12 >    0, e) (x² — x — 2)(x² + x — 6) < 0,

f) x⁴    —    5x³ + 10x² — 8x < 0,    g) x³ + 3x² — 4x — 12 < 0, h) x³ — 3x² + 3x — 2    > 0.

5