Kolokwium 2 Równania i nierówności jpeg

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE

1.Podać przykład równania o współczynnikach całkowitych,którego pierwiastkiem jest liczba: a)    odp. Np. x² + 22x +1 = 0 b)

V5+V6

odp. Np. x⁴ - 22x² + 1= 0 c) 1-75+76 odp.Np. - 4x³ - 16x² + 40x - 20 = 0 .

2. Napisać równanie kwadratowe o współczynnikach całkowitych,którego pierwiastkami są liczby xi,2 = (2 + JTJ)^_1 . Odp. Np. 9x² + 4x - 1 = 0 .

3. Rozwiązać nierówności: a) 5x > x² b) x² > 7 c) (x - 3)² < 11 d) x² - 7x - 8 > 0

e)    x² - 9999x + 2222 • 9999 < 0 odp. x e (3333,6666)

f)    x(x - 2) < a(a -2) , a < 1 odp. x^<a,2~a>,a< 1 .

4.Stosując podstawienie rozwiązać równania i nierówności: a) x⁴ - 26x² + 9 = 0 odp. xi_;2 = 78 ± 75 , X3,4 = -/8 ± 75 b) x⁴ - 4x² - 45 < 0 odp. xe<-3,3 > c) x⁴ - 13x² + 36 < 0 odp. x e (-3,-2) U (2,3) .

5.Stosując podstawienie rozwiązać równania : a)    ~    = -j

odp. x,,2 = 8 + 74T , x₃,4 = 5 ± 72 b)    = 1 * od x,,₂ = 3 ±272 ,

X3_>4 = -3±272 c) (x + 1 )(x + 3)(x — 2)(x — 6) — 9lx² = 0 odp. xi_>2 = 4 ± 722 ,

X3 4 = -6 ± 742 d) (x + l)(x + 3)(x - 5)(x - 7) - 80 = 0 odp. xi_;2 = 2 ± 729 ,

X3_4 = 2 ± 75 e) (x² — 5x — 2)² - 5(x² — 5x - 2) - 2 = x odp. xi_>2 = 2 + 7T0 ,

X3 4 = 3 ± 7TT f)7(/(x)) = x , jeżeli f[x) = x² - 7x + 9 odp.xi,2 = 4 + 77 ,X3_s4 = 3 ± 76

6.Suma dwóch pierwiastków równania x⁴ - 8x³ + 6x² + 48x - 27 = 0 wynosi 2,a iloczyn dwóch pozostałych pierwiastków tego równania wynosi 3.Wyznaczyć te pierwiastki. Odp. Xi_;2 = 1 ± 710 , X3_;4 = 3 ± 76 .

7. Znaleźć pierwiastki wielomianu W(x) = x⁴ - 8x³ + 1 lx² + 22x - 20 wiedząc, że iloczyn dwóch z nich jest równy -5 . Odp. xi.₂ =1 + 76 , x_3j4 = 3 ± J5 .

8. Rozwiązać równania : a) x⁴ - 16x² + 8x - 1 =0 odp. xi_>2 = 2 ± 73 , x_3;4 = -2 + 75"

b)    x⁴ - 4x³ - 12x² + 8x - 1 =0 odp. xi,2 = 3 ± 272 , x_3>4 = -1 ± 72

c)    x⁴ - 4x³ + x² + 6x + 2 = 0 odp. x\^ = 1 ± J2 , x_3;4 = 1 ± 75"

d)    x⁴ - 15x² + 2x + 30 = 0 odp. Xi_;2 = 1 ± 76 , x_3i4 = -1 ± 77 .

9.Stosując podstawienie rozwiązać nierówności:

a)    x(x - 4)(x - 2)(x - 6) - 65 < 0 odp. x e < 3 - J\4,3 + 7^4 >

b)    (x² - 2x - 3)(x² - 6x + 5) - 84 < 0 odp. x e < 2 -    5,2 +    >

c) (x² - 6x + 5)(x² - 10x + 21) + 12 < 0 odp.x e 77,4 - 73 > U < 4 + 75,4 + 77 >

d) (x² - 2x - 15)(x² - 6x - 7) < 80 odp. x g < 2- 729,2- 75 > U < 2 + 75 ,2 + 729 > 10.Obliczyć najmniejszą wartość wielomianu:

a) W(x) = (x + 2)(x + 4)(x - 8)(x - 10) + 44 b) W(x) = (x² - 4x - 21)(x² - 6x - 7) + 88. Określić , w jakich punktach jest ta wartość osiągana.

Odp. a) m = W(3 ± 757) = -100 b) m = W(3 ± 726) = 7 .