86 (60)

3. Wielomiany i funkcjo w

y m i e r n c

3.6.6. Równania i nierówności wielomianowe (III)

c) Przykład równania i nierówności wielomianowej

Równanie wielomianowe

x — <xx + 9x + 4v —12 = 0

jc⁴- 6x³+ 9x² + 4x - 12 > O

Rozkładając wielomian po lewej stronie na czynniki, otrzymujemy:

(*+ l)(x — 2)*(jc — 3) = O x. = -l, x₂= 2, x,= 3

Odp. Pierwiastkami równania są: x_x = — 1 (pojedynczy) jTj = 2 (podwójny)

.Xj = 3 (pojedynczy)

Nierówność wielomianowa

(x + 1) (x - 2)² (x - 3) > O

/ \ \

-1-1-1-

-12    3

(p. pojedynczy) (p. podwójny) (p. pojedynczy)

O, wybieramy więc przedziały

Siatka znaków:

x:	(-oo; -l)	-1	(-1:2)	2	(2:3)	3
x -+- 1	. —	0	+	+	+	-t-
(x-2)^i	+	+		0	+	-4-
x-3	—	—	—	—	—	0
P(x)	+	0	—	0	— 0

Interpretacja na osi liczbowej:

—rH 2

Rozwiązujemy nierówność P(x) z „+” wraz z punktami: — 1, 2, 3:

j|i§

-1    2 3

Odp. x e (—oo; -l) U {2} U (3; +oo)

Uwaga: W sąsiedztwie pierwiastków o krotności nieparzystej (np. x, = — 1, x, = 3 — pojedyncze) wielomian zmie

nia znak na przeciwny

+ — —h-

, natomiast w sąsiedztwie pierwiastków o krotności parzystej

(np. x, = 2 — podwójny) — wielomian nic zmicniu znaku

d) Równania i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną i z parametrem rozwiązujemy analogicznie jak równania i nierówności liniowe i kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem (por. 3.1. i 3.1.4. oraz 3.4.1. i 3.4.2.).

O