067

132

VII. Funkcja określona równaniami parametrycznymi

Zadania

133

7-52. x=arcsinf, y=Vl-f²-    7.53. x = e'cost, y = e'sint.

Ruch punktu materialnego wyrzuconego w płaszczyźnie <7xy pod kątem a do Poziomej Ox określony jest równaniami

x=v₀tcosa,    y= v₀tsin a—igt²,

f{6) jest niemalejąca, zatem przybiera wartość zerową tylko jeden raz. Stąd wnj₀-, że x=na wtedy i tylko wtedy, gdy 6=n. Punkt ten odpowiada wierzchołkowi cykl₀j^' (x=na, y=2a). W punkcie tym mamy

dy₌₀ ⁽fy₌₌_±_

dx ’ dx²    4a ’

Zadania

Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi (zjj 7.11-7.34):

7.11.    x=4t, y=8(l — t) (linia prosta). 7.12.    x = acost, y=b sint (elipsa).
t^2 t ^7-^,3-^J=73r- »-?zr	1 7.14. x =-, Z + l
b a 7.15. x=-— , y=-. b—t a—t	7.16. x=V<^2+l,	t-1
7.17. x=t^2, y=jt^3 — t.	7.18. x = t^z+2t,	y=ln(t + l).
2 at a(l — t^2)

7.iv. x=-—?, y= -l+t^2	l+t^2
7.20. x=a(t—sint),	y=a(l-cost) (cykloida).
7.21. x=acos^3t, y=	= a sin^31 (asteroida).
7.22. x=cos2t, y=sin^2t.
7.23. x=cos (p + psin <p	, y=sin ę— <pcos cp.
7.24. x=asint+sinat,	y = acosf+cosat przy
7.25. x=cost (cos 2f)^ł,	y=sint (cos 2t)^ł.
cos ^3t 7.26. x=-==, y--	sin^3f
Vcos2t	V cos 21
7.27. x=lntg£t+cost-	-sint, y=sint+cost.

7.28. x=a ln t,    y= —    +y^ (łańcuchowa).

7.29. x = ———y,    y =    (liść Kartezjusza).

l+t³    i +t³

7.30.    x=(R + r)cost-Rcosy=(R+r)sint-Rsin(epicykloida).

7.31.    x = l+e^af, y=a(p+e~‘^up.    7.32. x=e^at, y = e~°'.

,    ,    1    t

733. x=(e -1) , y=(e — l)².    7.34. x=arccos    y=arcsin

Vl+t²    Vl+f²

Układ współrzędnych Oxy leży w płaszczyźnie pionowej, przy czym oś Ox jest po-aonia. Wyznaczyć tangens kąta nachylenia wektora prędkości względem osi Ox w ruchu określonym równaniami parametrycznymi (zad. 7.35 - 7.40):

7.35.    x=2—sin2/, y=cos²t dla t=irc.

7.36.    x=3sin²3t, y=sint-2cost dla *=371.

7.37. x=2tg5t — 2t,    y—t—sin5t dla t=^7t.

7.38.    x = 5arctgt, y=2t²—1 dla t=2.

7.39.    x = tlnt—3t²,    y=(t+l)⁵ dla t=l.

7.40. x=2t' — 3t, y=2t³ —1+1    dla 1=1.

W ruchach określonych równaniami parametrycznymi znaleźć prędkość ruchu dsjdt oraz równanie toru w postaci y=f{x) (zad. 7.41 -7.43):

7.41.    x = t³,    y=2t².    7.42. x=acoskt, y=bsmkt.

7.43. x=asin³Z, y=acos³t.

Obliczyć drugą pochodną d²y/dx² funkcji określonej równaniami parametrycznymi (zad. 7.44 - 7.53):

7.44. x=cos²Z,    y=sin²1 (jaka to linia?) 7.45. x=e^-3', y = e³' (jaka to linia?).

7.46.    x = acost, y=bsint, a>0, b>0.

7.47.    x=a(t—sint), y=a{t-cost), a>0.

7-48. x=acos³t, y=asin³t, a>0.

7-49. _x = alnz,    ^t + l\ a>0.

7.50. x=lnZ, y=Y^.    7.51. x = arctgt, y=ln(l+t²).