066 2

130    VII. Funkcja określona równaniami parametrycznymi

Rozwiązanie. Z postaci równań ruchu widać, że łatwo wyrugować czas t, by otr^y mać związek między x i y, czyli równanie toru. Mianowicie podnosząc stronami do kvv_a dratu obie równości otrzymujemy

x²+y² = 25sin²5r² + 25cos²5t², skąd *²+y² = 25.

Jak widzimy, jest to równanie okręgu, którego środkiem jest początek współrzędnych a promień jest równy 5.

Podstawiając do danych równań wartość t=0 otrzymujemy położenie początkuj punktu:

jc=0, y=5.

Ruch rozpoczyna się więc z punktu (0, 5), to znaczy, z punktu przecięcia okręgu z dodatnim zwrotem osi Oy.

Prędkość u punktu poruszającego się po okręgu obliczmy według wzoru (1)    v=yjvj,+v²,,

gdzie v_x, v_y są składowymi prędkości wzdłuż osi współrzędnych Ox i Oy i wyrażają się wzorami

dx    dy

°^x dl ' °^r dt

Obliczamy składowe prędkości

§ 7.2. Pochodna rzędu drugiego ^metryczne cykloidy mają postać

1-2.3)    x = a(0—sin0),    y = a(l—cosfl).

Wyznaczyć dyjdx, d²y\dx² oraz d³y/dx³ i obliczyć te pochodne dla wartości x=na. Rozwiązanie. Obliczamy pierwszą pochodną dy\dx. Ponieważ

dy . —=a sin 0

•ięc

dx

— = a(l—cosd),

dx a(l — cos

przy założeniu, że cos 6j= 1.

Obliczamy drag, pochodną d‘y!dx\ Ponieważ

sin 0 1 — cos 9

dx    ,

v_x= ——= 50fcos5r , dt

dy

= — = -50f sinSt². dl

Podstawiając o_x i u_y do wzoru (1) otrzymujemy

v=V2500f² (cos² 5f² +sin² 5 r²),    skąd v=50t.

Okazuje się, że prędkość poruszającego się punktu jest proporcjonalna do czasu, a więc ruch jest jednostajnie przyśpieszony. Aby obliczyć przyśpieszenie a, należy zróżniczkować prędkość o, wyrażoną jako funkcję czasu /; otrzymujemy

du

a-—=5°. dr

Rys. 7.3

Zadanie 7.10. Punkt leżący na obwodzie koła toczącego się po prostej opisuje zwaną cykloidą (rys. 7.3). Promień koła oznaczmy przez a, a kąt obrotu przez 6- Ru"^

<3	t	dx
de	l-cos0’	~de~'
	d^2y	-1
	dx^2 a(1-	- cos 6)^2

Trzecią pochodną    obliczamy wedłng wzoru

=a(l-cos0),

d_y_ \dx‘J dx

knujemy    ' ^d0 '

2 sin 6

a(l—cos0)³ * d³y 2 sin0

dx

l-cos0),

h

(Si.,.    .    cos 9)*'

I * ^ZTZŻi ^S>"‘^^V C“ ¹ - “^{S S}=²    * —* Powyższe wzo-

dy

r = ctgie,

d³y cos|0

dx² 4a sin⁴|0 ’ dx³ 4a² sin⁷^0

Ostaje obliczyć wartości tych pochodnych dla x=na. Wówczas mamy równanie na = a(d—sin0),    czyli 0 — sin0 — jt=0.

ⁿ‘^{e to} ma oczywiste rozwiązanie 0 = it. Po lewej stronie równania występuje funkcja ^ ^/(®) = e-sine-7t, której pochodna f(0) = 1 - cos 6 jest nieujemna; a więc funkcja