51 (142)

ax + * = 0

ax =-b

a

-jedno

rozwiązanie

(pierwiastek)

3.1. Funkcja linio*

3.1.3. Równania i nierówności liniowe (I stopnia a £ 0)

Równanie liniowe

Nierówności liniowe

ax + b , , 0

^{ax + b}(_>)°

IR

>

ax % ^_ b

(>)

dla a = 0: 0--b

dla a > 0:

dla a < 0:

x>-%

dla a > 0:

dla a < 0:

p fc

x<~a

dla b = 0

L = P nieskończenie wiele rozwiązań

dla

ii o

L/P

brak

rozwiązań

x G

lub:

dlax<-§

X G | —oo; --q

'ś.

X G

H^:+")

lub:

dla*>-§

m

*g(-|;+oo)

lub:

dla x I -f

-°o; H'

lub:

dlax<~§

ZZD

—r*

xe

+oo

Uwaga: Tok rozwiązywania równania jest analogiczny jak tok rozwiązywania nierówności. Rozwiązywanie równania kończy się wraz z obliczeniem pierwiastka lub stwierdzeniem braku rozwiązań. Natomiast rozwiązywanie nierówności zakończone jest ilustracją na osi liczbowej i odczytaniem zeń przedziałów rozwiązań. Spostrzeżenie to odnosi się do wszystkich równań i nierówności - nie tylko liniowych.

3.1.4. Równania liniowe z parametrem

Oznaczenia: x - niewiadoma

k - parametr (ustalona liczba rzeczywista zadana nie liczbowo, tylko literowo) a(fc) - współczynnik a zależny od parametru k b(k)~ wyraz wolny b zależny od parametru k

Poniższy schemat przedstawia dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania liniowego z parametrem.

Na przykład:

dla

a(k)x + b(k) = 0; xSR

a(k)x-=-b(k) (dziedzina równania)

■[a(k) = 0

fl(k)/0

b(k) dowolne b(k)

/\

dla

b(k) dowolne

dla

k/ 1 A k /—1

CO

§u

(pierwiastek równania) istnieje jedno rozwiązanie.

0 x=-b(k)

dla

a(k) = 0

A

dla

a(k) = 0

b(k)ć 0

0x = 0

(równanie tożsamościowe, bo L=P)

r€ R

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.

0 x=-b(k)

(równanie sprzeczne, boL/P) Bruk rozwiązań,

-1 k + I

(jedno rozwiązanie) Diak / 1 Ak/-1 równanie ma jedno rozwiązanie

(postaci: X —

{k²-l)x + k- 1 =0 111 l)x= 1 -k

x =

dla k = 1

0j = 0 0 = 0 (tożsamość, boL»P) Diak = 1 równanie ma nieskończenie wiole rozwiązań ■VG R.

Qx-2 0 = 2 (sprzeczność, bo L/P) Diak =-l równanie nie ma żadn>vh rozwiązań A G 0.

k +

r>-

O