50335 str132 (4)

132 2. FUNKCJE SPECJALNE

Zadania do rozwiązania

1. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

d²y 3 dy ( ,    1\

dP⁺~x'dx ⁺ \    ⁺x²)^y ~°‘

2.    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

d²y dy 1

^xj?⁺tS

r

3.    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

d²y 1 dy    ,

J ►    -Ą+— /+16xy^e = 0.

dx    x dx

4.    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

.2^d y

dx²

dy

^:dx

■(^{9x2 +} J )^{y = [}

Odpowiedzi

1 .

1.    y = -[AJ₀(kx) +BY₀(kx)~] . Wskazówka: podstawić y = x F(a-).

2.    y = AJ₀L/x)±5Y₀(yjx). Wskazówka: podstawić x = t².

3.    y = y4/₀(x⁴) + BF₀(x⁴). Wskazówka: podstawić t = x*.

4.    y = x”i[^/₀(3A:)+5F₀(3A-)]. Wskazówka: podstawić y = jc^_iK(A).

§ 3. Zmodyfikowane funkcje Bessela

Definicja 1. Zmodyfikowanym równaniem różniczkowym Bessela nazywamy równanie •. d²y

(3.1)

-    1 dy (    v²\

Definicja 2. Zmodyfikowanymi funkcjami Bessela nazywamy rozwiązania równania

(3-1).

Definicja 3. Zmodyfikowaną funkcją Bessela rodzaju pierwszego lub funkcją MacDo-nalda o wskaźniku v nazywamy funkcję

1

Własność I. Jeieli |argz|< związki:

(3.3)

(3.4)

Własność 2. Funkcja /_v(r) Własność ta wynika z żale Wykresy funkcji /„(*) i /,(.

i

20

1C

C

(3.2)

przy założeniu ]argz| <rc

^ j r(k+ l)F(k + v +1)

fc=i

gt

Dalsze własności funkcji I

(3.5)
(3.6)	1-nW
(3.7)	Z
(3.8)	Z
(3.9)	< 1
(3.10)
(3.11)	/V(Z)J
gdzie z # 0,	a v jest niecałko
Z
(3.12)	I^2(kz)zdz = - j
0
	Z /t
(3.13)	Ifkz)Iv(lz)zd 0