str137 (4)

§ 3. ZMODYFIKOWANE FUNKCJE BESSELA 137

Zadania do rozwiązania

1. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

spełniające warunek >’(0) = 5.

2.    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y" — xy = 0.

3.    Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

J

— = 0.

Odpowiedzi

2. y = x^1,2[AI₁i₃($x²¹³) +-5A'i_/3(fx^2/3)]. Wskazówka: podstawić y = t^i,3v(t) oraz t = x³¹².

2>. y = x~^3,2[AI_i(2kx^i,2) + BK₃(2kx¹¹²)']. Wskazówka: podstawić y = x~^3/2v(x).

■ . .. .    . ; \ ’ •’

§ 4. Funkcje sferyczne

Definicja 1. Funkcjami sferycznymi lub kulistymi nazywamy funkcje następującej postaci:

00

(4.1)

X„(0, <p) = ^ cos m<p + b_mn sin mcp) P_nm(cos 0),

będące rozwiązaniami równania różniczkowego cząstkowego

(4.2)

Własność 1. Jeżeli X_n są funkcjami sferycznymi (4.1), to

(r, 0, (p) =

r rⁿX_n(e,<p),

\r-ⁱⁿ⁺¹⁾X_n(0,<p), gdzie n = 1,2,..., są funkcjami harmonicznymi, tzn. spełniają równanie La place'a

(4.4)