3818438024

Ekstremum funkcji uwikłanej y=y(x) spełniającej równanie F(x,y)=0 Jeżeli funkcja y=y(x) określona równaniem F(x,y) ma ekstremum w x₀ oraz jeżeli:

jr    jt

1)    F(x,y) jest określona w P₀ (x₀, y₀) (y₀=y( x₀ )) i ma pochodne — , — w tym

dx dy

punkcie.

2)    F(*₀,y₀) = O

3)    ^(x₆,y₀)*0 to -p(x₀,y_o)=O

dy    dx

Tw. (Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji)

Jeżeli funkcja F(x,y) e C² w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀, y₀) oraz jeżeli:

1) F(j*o,y₀) = 0

2) f-(x₀,y₀) = 0

dx

3)    -j~(*₀>y₀) *0 dy

d²F.    .

--r-r(*o.yo)

4) Wyrażenie A = —^-£ 0

^(Wo)

dy

To funkcja uwikłana y=y(x) określona równaniem F(x,y)=0 ma ekstremum w punkcie x₀, przy czym jest to minimum (maksimum) gdy A>0 (A>0)

Ekstremum funkcji jednej zmiennej

A

xe Q(x₀,$)

Def. Funkcja y=f(x) ma ekstremum (maksimum) w punkcie x₀, jeżeli

f(x) £ f( x₀ ) gdzie Q jest pewnym otoczeniem punktu x₀