2086

Rozważamy problem istnienia funkcji uwikłanej.

Np. równanie x² + y² + 1 = 0 nie określa żadnej funkcji uwikłanej, natomiast równanie y-x² = 0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną.

Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej)

Z: U eTopR² F :U -*R F e C^l(U)

F^yJeU

4v^)=0 a (x₀,y₉)* 0

°y

T: 3 ciągła funkcja uwikłana y = f(x) określona w pewnym przedziale

(.r₀ -5,.r₀ + 8) za pomocą równania F(x,v)= 0 i spełniająca warunek f(\)= v₀ (czyli funkcja uwikłana przechodząca przez wybrany punkt Po).

Wniosek

Jeśli spełnione są założema twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej, to 3 f'(_x) w pewnym otoczeniu punktu x₀ i

lub krótko:

/'(*)=-

dF

dx

dF

dv

Mm)

(*>/(*»

y=-

dF

dx

dF

dv

(*.y)

(*.y)

Dowód (szkic)

Rozważmy równanie F(x,y) = 0. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej wiemy, że 3 funkcja uwikłana ,v = f(x) taka, że f (*,/(*))= 0 dla .re(.r₀-S,.r₀+6).

Równanie różniczkujemy stronami i wyznaczamy pochodną funkcji/

dF dx dF ■

dx dx dy

•/'(-v) = 0

dla

xe(x₀-b,x₀+d)

i

U

dF

dy

*0

/’(*) =

£(*/(*»

□