5027720043

Lista 10 -Równania diofantyczne

1.    Pokaż, że równanie x² + y² = 2x + 4y + 5 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. Dla jakich k równanie (x² + y² = 2x + 4y + k ma rozwiązania w liczbach całkowitych?

2.    Przypuszcza się, że istnieje tylko jedna para nietrywialnych potęg złożona z kolejnych liczb naturalnych. Znajdź tę parę.

3.    Korzystając z WTF wykaż, że \f2 jest liczbą niewymierną. Czy potrafisz wykazać w ten sposób niewymierność \/3? Lub inne nieoczywiste modyfikacje.

4.    Fermat wykazał, że x⁴ + y⁴ = z² nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach naturalnych. Wywnioskuj stąd, że \/2 jest liczbą niewymierną.

5.    Każda z dwu urn zawiera tę samą liczbę kul, część z nich biała, część czarna. Z każdej z tych urn losujemy n krotnie ze zwracaniem jedna kulę.

a)    Pokaż, że przy n = 2 można tak dobrać zawartości urn, aby prawdopdobień-stwo, iż wszystkie kule wyciągnięte z I urny są białe było równe prawdopodobieństwu, że wszystkie kule wylosowane z II urny mają ten sam kolor (wszystkie czarne albo wszystkie białe).

b)    Czy można to osiągnąć przy n > 2?

6.    * Pokaż, ze równanie x² + y² = z³ ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

7.    Wiemy, że sześcian dodatniej liczby naturalnej nie jest sumą sześcianów dodatnich liczb naturalnych. Ale:

a)    6³ da się przedstawić jako suma trzech sześcianów:

b)    5⁴ jest sumą pięciu czwartych potęg:

c) * 353⁴ jest sumą czterech czwartych potęg.

Wsk.: 353⁴ = x⁴ + y⁴ + 272⁴ + 315⁴.

8.    Znajdź minimalne nietrywialne rozwiązanie równań x² — ny² = 1 dla n < 20.

9.    ** Udowodnij, że zbiór dodatnich wartości wielomianu

2y — x⁴y — 2x³y² + x²y³ -I- 2xy⁴ — y⁵ pokrywa się ze zbiorem liczb Fibonacciego.