54 (299)

3

Całki funkcji zespolonych

Piąty tydzień

Przykłady

Napisać równania parametryczne z — z(t), gdzie t G / C R, podanych krzywych

a)    prostej przechodzącej przez punkty z\ = 1 + 3i, z₂ = — 2 + *;

b)    odcinka łączącego punkty z\ = —2, z₂ = 4 — 3i;

c) okręgu ośrodku zo = 1 + 3* i promieniu r = 2;

d) elipsy o środku zo = 1 4- 2i i półosiach a = 3, b = 2.

e)    części krzywej y = z³ zawartej między punktami —1 — i, 1 +1;

Rozwiązanie

a)    Prosta przechodząca przez punkty z\, z₂ ma przedstawienie parametryczne

z(t) = zi + (z₂ - zi) t, gdzie t € R Zatem dla punktów z\ = 1 + 3«, z₂ = —2 + i mamy

z(t) = (1 + 3i) + (-3 - 2«) t, gdzie ł € R.

b)    Odcinek o końcach zi, z₂ ma przedstawienie parametryczne

*(<) = zi + (zj - zi) t, gdzie t € [0,1].

Zatem dla końców z\ — —2, z₂ = 4 — 3r otrzymamy

z(t) = -2 + (6 - 3i) t, gdzie t € [0, 1],

c)    Okrąg o środku zo i promieniu r ma przedstwienie parametryczne

z(t) = zo + re“ gdzie t G (0, 2ir).

Zatem dla środka zo = 1 + 3t oraz promienia r = 2 mamy

z(t) = (1 + 3«) + 2e", gdzie t G [0, 2ir],

Piąty tydzień - przykłady    117

d) Elipsa o środku zo i pólosiach a, b równoległych do osi Re z, Im z ma przedstawienie parametryczne:

z(i) = z₀ + a cos t + ifcsin I, gdzie t £ [0,2?r].

Zatem dla środka zo = 1 -f 2i oraz półosl a = 3 i b = 2 mamy

z(t) = (1 + 2i) + 3 cos t + i2sin i, gdzie t £ [0, 2rr],

e) Przyjmijmy x(t) = i. Wtedy zgodnie z warunkami zadania mamy y(t) — t³ dla i 6 1 C ił. Zatem

z(t) = x(t) + iy(t) = t + ii³.

Należy wyznaczyć przedział I. Ponieważ dla punktów krzywej leżących między punktami — 1 — « a 1 + i mamy x(t) = i £ [—1,1], więc I = [—1,1].

5.2

Xr..:    a;j\f ; i,

Napisać równanie stycznej do krzywej danej równanie parametrycznym

z(<) = t¹ + it\/1 + t²,

gdzie ł £ ił, w punkcie zo odpowiadającym wartości parametru to = 1. Rozwiązanie

Równanie stycznej do krzywej z = z(t) w punkcie odpowiadającym wartości parametru t = to ma postać

A(t) = z (t₀) + z'(to) t,

gdzie t £ ił. W rozważanym przykładzie mamy

z (<₀) = z(l) = 1 + y/2i oraz z' (to) = 2t +

1 + 2t² .

\A

4-1

„    3v/2 .

= 2₊_,

Cal

Zatem równanie parametryczne szukanej stycznej dane jest wzorem

A(t) = 1 + s/2i + ^2 +    <.

gdzie t £ ił.

• Przykład 5.3

Znaleźć kąt nachylenia do osi Re z stycznej do krzywej danej równaniem paranie-

1    3^

trycznym z(t) = cost + 3isint, gdzie t £ [0,27r], w punkcie z₀ = -- + -r— i.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw wartość parametru t = to, dla której z (to) ⁼ *o. Mamy cos <₀ —

3    2

— i oraz 3sin to = -, więc to = -jt. Kąt nachylenia do osi Rez stycznej do krzywej j_egt

2    2    3