51 (327)

111)

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Zadania

Zadanie 3.1

Napisać wzór odwzorowania w = f(z), gdzie z G C, gdy / jest:

a)    translacją o wektor 20;

b)    obrotem o kąt <p (w szczególności dla <p = w/2) wokół punktu 2 = 0;

c)    jednokladnością w stosunku k > 0 o środku 2 = 0;

d)    odbiciem symetrycznym względem osi Ox, Oy, prostej y = x.

Zadanie 3.2

Jakie jest równanie prostej prostopadłej do prostej z(t) = z\ + 22*, gdzie t £ R, i przechodzącej przez punkt 20? Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej 2(1) = 2i + (i — 2)t, gdzie i G R, i przechodzącej przez punkt zq = 2 + i. Wykonać rysunek.

Zadanie 3.3

Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu w = /(z). Narysować zbiór D i jego obraz, jeśli:

a) D = |z G C: 0 < argz < y, 1 ^ |z| ^ 2|, f(z) = z²;

c*) D = {2£C:0( Re 2^1,0^ Im 2^1), /(z) = z².    JU~~-

Zadanie 3.4

a) Znaleźć obraz:

i) okręgu |z| = 1; ii) prostej y = x bez punktu (0,0); przy odwzorowaniu w = -.

przy odwzorowaniu w =

Zadanie 3.5

b) Znaleźć obraz prostych x = Xq, V = 2/0 • obraz kwadratu Z2 z Zadania 3.3 c*)

przy odwzorowaniu w = e^z;

b) Odwzorować obszar D = {2 6 C : 1 < |z| < e, —t < arg 2 < w) za pomocą funkcji w = log2 (logarytm główny).

Zadanie* 3.6

Znaleźć obraz zbioru Z? = {2 G C : Re2 ^ 0, Im 2 ^ 0} przy odwzorowaniu

2 — 1

Wykonać rysunek.

O Zadanie* 3.7

Zbadać ciągłość podanych funkcji: Re z

Ileż

a) /(z) =

i+M’

f Re z²

b) /(z) =

dla z ^ 0, dla z = 0;

^c) /(*) =

dla z ^ 0,

0 dla z = 0.

Wskazówka. Przedstawić z² w postaci trygonometrycznej.

Odpowiedzi i wskazówki

3.1    a) /(z) = z + z₀; b) /(z) = e‘^vz, (/(z) = iz dla <p = 0; c) /(z) = *z;

d) /(*) = ż, /(z) =    /(z) = »ż.

3.2    z(<) := z₀ + iz2<, gdzie t € 17, z(t) = 2 + « + (-1 - 2i)t, gdzie t 6 R.

3.3    a) jtu £ C. 0 ^ arg w ^ y-, 1 ^ |tu| ^ ńj; b) {tu € C: -j $ arg te ^ 0, |te| $ ż|;

c*) |te g C: Im u; ^ 0, Re te ^ 1 - (bn^u))_^ _{Re w} ^ £ Imituj--l|.

3.4    a-i) |tu| — 1, a-ii) y = — x, z ^ 0; b-i) Symetralna odcinka o końcach —1,0 tj. prosta x = —1/2;

b-ii) Okrąg o środku    ‘ promieniu r = bez punktu (0,0).

3.5    a) Okręgi o środku zo = 0 i promieniu r = e^x°, pólproste wychodzące z punktu z₀ = 0 nachylone do osi Ox pod kątem y₀, {tu € C: 1 ^ |te| < e, 0 < arg w < 1};

b) Prostokąt {te € C: 0 < Re tu < 1,-x < Im te < 7r}.

3.6* Półkole {te € C : ( Re tu)² + (Im tu)² $ 1, Im te $ o} bez punktu tu = 1.

3.7* a), c) ciągła; b) nieciągła w punkcie z = 0.

Czwarty tydzień

Przykłady

•    Pr7vkład 4 1

•    Przykład 4.1

Sprawdzić, że podane funkcje spełniają równania Cauchy’ego-Reimanna: a) /(z) = sh z; b) /(z) = -j.

Rozwiązanie

a) Niech z = x + iy, gdzie x,y € R. Wtedy mamy

i

dej e — f- _

e^x (cos y + «sin y) — e~^z (cos y — i sin y) _

2

2

= sh i cos y -f i ch z sin y.