str023 (5)

§ 3. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 23

Zadanie 3.3. Określić, jaką krzywą przedstawia równanie:

§ 3. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 23

a) Re z¹ = a,    b) Im— = a, z# 0, c)

z

z —1

z + i

= a,

gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Rozwiązanie, a) Weźmy pod uwagę funkcję

(1)    w = z¹.

Podstawiając we wzorze (1) w = u+io oraz z = x+iy, mamy

u + iv = (x+iy)¹,    gdzie u = Re z¹,

•    w + i» = x¹ + i2xy+i¹y¹, '

(2)    u + iv = jc²—y² + i2xy.

Z równości (2) wynika, że

Re z¹ s h = x¹—y¹.

x¹—y¹ = a.

Zgodnie z założeniem mamy więc

(3)

Równanie (3) dla a ^ 0 przedstawia hiperbolę równoboczną, dla a = 0 dwie proste y = x oraz y = —x.

b) Bierzemy pod uwagę funkcję

(4)    w = I.

I    '•

Podstawiając w równości (4) w = u+iv oraz z = x+iy, mamy

u + iv=——,    gdzie uslm— ,

x+iy    z

O - iy)

(x + i»(x-iy) x — iy    x — iy

u + iv =

u + iv =

(5)    u + iv =

Z (5) wynika natychmiast, że

. -y

x¹+y¹ ‘ x¹ + y¹’

_T i -y

Im— = v = -5-^.

z    x¹+y¹

Zgodnie z założeniem mamy więc

-y

1

•2 2 2.2’ x —iy x +y