CCF20090601005

7. Funkcję /(x) = 3-5sin

v •+ /

aproksymujemy wielomianem 3. stopnia w przedziale (0, 6).

Napisać równanie służące do wyznaczenia współczynników aproksymacji.

Wielomian aproksymujący jest sumą: W(x) = ćiq ęo(x) + a\<p\(x) + a2<pi{x) + a₂ę>i(x) + ••• Funkcje (p,(x) zakładamy, współczynników a, szukamy z równania: H a = f, gdzie:

H =

jVo<^ Ja	f (p0(pxdx Ja	... jVo <P,dx ...	f <Po<Pndx Ja		’«o*		Ja
\a(po9\dx	f <p^2dx Ja	... £^i (p,dx ...	rb \ (P\ <pNdx		a\		f f(x)<pxdx Ja
J <Po<Pidx	| (P\ (pt dx	f <p^2dx Ja	rb 1 <P,(Ps^dx Ja	, a =	^ai	, f =	f ^bf(x)<pidx Ja
i -e o ^ : &■	rb J cpx(pNdx	... f ^bęi<pNdx ... Ja	f <pldx Ja _		_^aN .		rb f{x)ęNdx _Ja

a) Postać naturalna wielomianu: funkcje <p,(x) są /-tymi potęgami x, czyli

l¥(x) = eto + a\x + ci2X² + asx³ + ... => (po(x) = 1, <p\{x) =x, ff>z(x) = x², (fn(x) = x³,... U nas N = 3

H =

[ dx Jo	f6 xax Jo	[ x^2dx Jo	f^6X^3^" Jo
| xdx Jo	f^6X^2^ Jo	/*6 3 X Jo	[ x^Ądx Jo
f x^2dx Jo	f x^Jdx Jo	f x^4dx Jo	f x'dx Jo
f x^3t/x LJo	[ x^4t/x Jo	[ X 'Vx Jo	[ x^6Jx Jo J	-

6    18    72    324

18    72    324    1555,2

72    324    1555,2    7776

z:

324 1555,2    7776    39990-

y I | dx

a =

On

ai

Cli

f =

lo[³-^5si

£x^3 - 5 sin J_ox²^3 -5sin J_ox³f3-5sin

V **■ JJ

V * J

dx

dx

dx

6a₀ +18r/| + 72a₃ + 324/7₄ = J 3 - 5 sin

dx

V JJ

18/7₀ +72/7, +324a₃ + 1555,2/7₄ = J x 3-5sin

72a₀ +324/7, + 1555,2a₃ +7776a_Ą - £x² 3-5sin

dx

^ 7DC^

dx

V ^ JJ

(“6 3	3 -5 sin	( ^x^
X
Jo	l	U JJ

dx

324a₀ +1555,2//, + 7776a₃ + 39990-//₄ = jV 3-5sin

b) Aproksymacja wielomianami Legendre'a: funkcje (p,{x) są kolejnymi wielomianami Legendre^?a od 0-

2i i    j i    221    21    3 ,1

wego do 3-go, czyli P₀ = 1,-Pi = x, P, =--x-P_M--P_t_₂ => P₂ =—-—x-x--⁼-—-1 =-x²

i    i    2    2    2    2

2-3-1

1

3-1

— x--

v2

2y

• X = — X---X

2 2

Wielomiany te są ortogonalne w przedziale (-1, 1), dlatego za x należy podstawić zmienną £, wg

...    2    <7 + 6 _TT    _ ,    ,    2    0 + 6    1 ,    . _n .

przekształcenia: x =--Ę, +-- . U nas a = 0, b = 6, więc x =--£, H--= — ę -1 => Po - 1,

a-b~ a-b    ^Ł    0-6    0-6    3'

1

P_x =-#-1, P₂ =-3    ²    2

i    Y i i

-/f-1    -- = -^²-# + l,

3    J 2 6

5/"l    1    ^

213

#-

3    2

+ 2.5-1

54

Dla wielomianów ortogonalnych J (Pi(p_kdx = 0 (i + k. (u, v) - przedział ortogonalności), | cp²dx = ||<p,||².

6