47 (384)

102    Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Równanie to ma dwa pierwiastki

-4i - 2\/5i    ,    .    -4i + 2a/5i    ,    ^

u<i = --- = (—2 — v5j : oraz ui2 = --- = ( — 2 + v5j 1.

Zatem rozwiązaniem równania e²'¹ + 4ie'* + 1=0 jest każda liczba zespolona z spełniająca jeden z warunków e'^z = ( — 2 — y/E) i lub e¹¹ = (—2 + a/5) i. Dla e'¹ = (—2 — a/ó) i

mamy iz = Log [(—2 — a/Ś) i] . Ponieważ |(—2 — a/ó) i| = 2+a/5 oraz arg (—2 — a/ó) i = ir

-7, więc

iz = ln (2 + -1/5) — 17 + 2k*i, gdzie k £ Z.

Stąd

z = — iln (2 + 1/5) — — + 2kir, gdzie k £ Z.

Z kolei dla e" = ( — 2 + a/Ś) i mamy iz = Log [(—2 + a/ó) :] . Ponieważ | (—2 + a/Ś) i| = —2 + y/E oraz arg ( — 2 + y/E) i = 7, więc

Stąd

iz = ln ( — 2 + a/ó) + i7 + 2i-iri, gdzie k £ Z. z = — iln (—2 + a/Ś) + 7- + 21:*', gdzie k £ Z.

Zatem rozwiązaniami równania cos z = —2i są liczby

lub

z = —iln (2 + a/ó) — 7 + 2kx z = —iln (—2 + n/ó) + 7 + 21:*,

gdzie k £ Z.

II sposób. Niech z = 1 + iy, gdzie x,y £ R. Korzystamy (Przykład 2.3 d)) z przedstawienia funkcji cos z w postaci

cos z = cos x cli y — i sin x sh y Wtedy otrzymamy równanie zepolone

cos x ch y — i sin x sh y = —2i.

Równanie to jest równoważne układowi równań rzeczywistych

f ^CC

l ^s*

cos x ch y = 0, sin 1 sh y = 2.

Ponieważ ch y 0 dla każdego y £ R, więc z pierwszego równania otrzymamy cos * = 0, czyli x = — + kie, gdzie k £ Z. Zauważmy, że sin ^7 + kx^ = 1 dla k parzystych i

sin ^7 + 1;*^ = — 1 dla k nieparzystych. Zatem musimy uwzględnić dwa przypadki: 1° Dla 1 = 7 + 2kir, gdzie k £ Z, mamy sini = 1. Tak więc z drugiego równania otrzymamy

= 2.

sh y = 2

Drugi tydzień - przykłady

103

Podstawmy e^y = t. Wówczas otrzymamy równanie kwadratowe postaci

t⁷ - 4t - 1 = 0.

Równanie to ma dwa pierwiastki

ti = 2 — y/E oraz t₂ = 2 + y/E.

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy ponieważ t = e^y > 0. Dla drugiego mamy

e^y = 2 + y/E <=> y = ln (2 + y/E) .

Zatem    .

z = j + 2jtir + «ln (2 + y/E) , gdzie k g Z.

2° Dla i = j -f (2it — 1)TT, gdzie k £ Z, mamy sin z = —1. Tak więc z drugiego równania otrzymamy

e^y - e^_y

sh y = —2 <=>---= —2.

^y 2

Podstawiamy e^y = t. Wówczas otrzymamy równanie kwadratowe postaci

+4i - 1 = 0.

Równanie to ma dwa pierwiastki

<i = — 2 — y/E oraz <₂ = —2 + y/E.

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy ponieważ ł = e^y > 0. Dla drugiego mamy e^y = —2 + y/E<=> y = ln (—2 + y/E) .

Zatem

z = — j + 2krr + «ln (—2 + y/E) , gdzie k 6 Z. Ostatecznie rozwiązaniami równania cos z = —2i są liczby

lub

z = j + 2kr + i ln (2 + y/E) z = — — + 2kx + »ln (—2 + y/E) ,

gdzie k £ Z.

Uwaga. Zauważmy, że rozwiązania otrzymane oboma sposobami tylko pozornie różnią się od siebie, gdyż

,    ~    , {y/E + 2) (y/E - 2)    5-4