0295

296

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

ma dwa pierwiastki rzeczywiste — jeden między —11 a —10, drugi między 9 a 10. Obliczyć je z dokładnością do 0,00001.

(a) W przedziale <—11, —10> jest

/'(*)=4x³ - 6x+75 <0,    /"(x) = 12x² — 6> 0

(przypadek II). Otrzymujemy

*;=—u +

3453 5183⁼

-10,33...«-10,3,

*i =

1050

-10---- — 10,23... « —10*2 ;

4503

w pierwszym przypadku zaokrągliliśmy w stronę pierwiastka, ale nie przekroczyliśmy go. Dalej

*'*=—10,3 +

164,3181

4234,107

= -10,262...

-10,262

25,27984

x₂ = — 10,2----=-10,260... w-10,260

417,1165

(ta sama uwaga). Wreszcie

4,334569118736

x '₃ = -10,262 + -- -10,262+0,0010354... = -10,2609645....

4186,137218912

*3 =

10,260-

0,00807038048

8,369759358736

10,260 -0,0009642

-10,2609642...,

a więc

(, = -10,260964 - 0,000001,

nawet z większą dokładnością niż tego żądaliśmy.

(b) W przedziale <9, 10>jest /'(*)> 0 i /"(x)> 0 (przypadek I).

Tutaj

3007

Xi=9H--=9+0,869...«9,87 (w stronę pierwiastka!),

3457

x', = 10--= 10—0,112... s; 9,89;

4015

1,2389658878

*2=9,87 + —-=9,87+0,01599...=9,88599...,

77,4689008

15,52060641

*i=9,89----- = 9,89 -0,00 3993 ...= 9,886006...,

3885,106676

więc oczywiście

(₂ =9,88600 +0,00001.

3) Rozpatrzmy równanie

/(*)=x sin x — 0,5=0.

Zbudujmy wykresy funkcji y=sin x i y = — (rys. 88). Widzimy, że przecinają się one w nieskoń-

x

czenie wielu punktach, rozpatrywane równanie ma więc nieskończenie wiele pierwiastków. Z wykresu widać także, żp najmniejszy pierwiastek dodatni £ jest bliski 0,7; obliczymy go z dokładnością do 0,000001. Trzeba tu uwzględnić uwagę o zaokrąglaniu w częściach stopnia, którą zrobiliśmy w związku z zadaniem 4) w ustępie 156.