0307

308

V. Funkcje wielu zmiennych

Taką samą własność ma również sympleks otwarty

x₁>0,    ,    x„>0,    x_l + ...+x„<h    (h>0).

Zbiór tego rodzaju, składający się wyłącznie z punktów wewnętrznych, nazywamy obszarem otwartym. A zatem prostopadłościan otwarty, kula otwarta, sympleks otwarty są przykładami obszarów otwartych.

Uogólnimy obecnie pojęcie punktu skupienia [52] na przypadek zbioru Jt w przestrzeni «-wy miar owej. Punkt M₀ nazywa się punktem skupienia zbioru J(, jeśli w każdym jego otoczeniu (znowu obojętnie jakiego typu) zawarty jest chociażby jeden punkt zbioru M różny od M₀.

Punkt skupienia obszaru otwartego nie należący do tego obszaru nazywa się punktem brzegowym tego obszaru. Zbiór punktów brzegowych tworzy brzeg obszaru. Obszar otwarty wraz ze swym brzegiem nazywa się obszarem domkniętym.

Łatwo jest dostrzec, że punktami brzegowymi prostopadłościanu otwartego (4) są punkty M(x_l,x₂,...,x_n), dla których

a₁^x_l^b₁ ,    ... , a_n^x_n^b_n,

przy czym co najmniej w jednym miejscu zachodzi równość.

Tak samo dla rozpatrzonej wyżej kuli otwartej punktami brzegowymi są punkty M, dla których MM₀ = r. Brzeg kuli nazywamy sferą.

Wreszcie dla sympleksu otwartego punktami brzegowymi są punkty M(x_t, x₂, ..., x„) spełniające zależności

*i^0..... x_n^0, x_t + ...+x_n^h,

przy czym chociażby jeden raz zachodzi w nich równość.

Wobec tego domknięty prostopadłościan, domknięta kula i domknięty sympleks są przykładami obszarów domkniętych.

Mówiąc odtąd o obszarze otwartym lub domkniętym, będziemy mieli zawsze na myśli obszar we wskazanym wyżej specjalnym sensie.

Udowodnimy teraz, że obszar domknięty zawiera już wszystkie swoje punkty skupienia.

Niech będzie dany obszar domknięty 2 i punkt M₀ poza nim. Udowodnimy, że M₀ nie może być wtedy punktem skupienia obszaru 2.

Obszar domknięty 2 otrzymujemy z pewnego obszaru otwartego 2 przez dołączenie do niego brzegu 8. M₀ nie jest oczywiście punktem skupienia dla 2, a więc M₀ można tak otoczyć pewną kulą otwartą, żeby w niej w ogóle nie było punktów z 2. Wówczas jednak nie będzie w niej także punktów z 8: przecież jeśli by jakiś punkt M' z 8 należał do niej, to należałoby również do niej całkowicie pewne otoczenie punktu M'iw tym otoczeniu nie byłoby ani jednego punktu z 2 wbrew definicji brzegu. Tak więc we wspomnianej kuli nie ma punktów z 2 i twierdzenie nasze jest udowodnione.

Ogólnie zbiór punktów M zawierający wszystkie swoje punkty skupienia nazywa się domknięty, a więc obszar domknięty jest szczególnym przypadkiem zbioru domkniętego.