CCF20140319000

124 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

ma dwa rozwiązania: x = -l/V2, y = 0 oraz x = l/V2, y = 0, przy czym tylko punkt p, = (l/V2,0) jest punktem wewnętrznym obszaru D. W punkcie p, może istnieć ekstremum lokalne funkcji f i może to być ekstremum absolutne.

Obszar D jest kołem domkniętym o środku w punkcie S = (1,0) i promieniu r = l. Brzegiem tego koła jest okrąg o równaniu

x² + y² - 2x = 0. W punktach tego okręgu funkcja f przyjmuje wartości z(x) = xe~^2x, przy czym x 6< 0,2 >. Ponieważ z'(x) = (1 - 2x)e^_2x = 0 dla x = l/2, więc funkcja z(x) może osiągać swoją największą i najmniejszą wartość na przedziale <0,2> w punkcie: x = l/2 (w tym punkcie może być ekstremum lokalne) lub w punktach końcowych przedziału: x = 0, x = 2. Zatem funkcja f może osiągać ekstrema absolutne

na okręgu x +y -2x = 0 w punktach

p₂ =(l/2,V3/2), p₃ =(l/2,-V3/2), p₄=(0,0), p_s=(2,0). Obliczamy wartości funkcji f w punktach p,,...,p₅ :

f(P!) = l/V2e, f(p₂) = l/2e, f(p₃) = l/2e, f(p₄) = 0, f(p₅) = 2/e⁴. Ponieważ

0 < 2/e⁴ < l/2e< l/V2e.

więc maksimum absolutne (największą wartość) na zbiorze D funkcja osiąga w punkcie p_t = (l/V2,0) i jest ono równe l/V2e, a minimum absolutne (najmniejszą wartość) na zbiorze D funkcja przyjmuje w punkcie p₄ =(0,0) i jest ono równe 0.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Wykazać, że funkcja z = z(x, y) nie ma ekstremów lokalnych:

a) z = x⁵ + xy² - y³ -(- 2y,

— \7(*^xy~^x~

b) z = ye

c) z = y + lny- —ln(l + x²), d) z = y²-4y--^--,

e) z=x²ln(3 + y²)-y,    f) z = y-x² +ln(4-y²),

g) z = -^--ln(l + x²-y), h) z = ^—^yT. l-y    _e^y

2.    Sprawdzić, że funkcja z = z(x,y) w punktach p, i p₂ nie ma ekstremów lokalnych, gdy:

a)    z = (x²+ y)e ^ , p, =(0,0), p₂ =(0,1),

b)    z = x²y-x + y-ye^xy2, p, = (0,-1), p₂ = (1,0),

c)    z = x⁴ + y⁴ + xy² + x²y-2y²-x, p, = (0,0), p₂=(0,-l),

d)    z = 2xsiny + y²+cos²x, p, =(71,71), p₂ = (0,7i).

3.    Wykazać, że funkcja z = z(x,y) ma w punkcie p₀ ekstremum lokalne i określić, czy jest to maksimum czy minimum, gdy:

^a)    ^{z =} y ⁺ ~ ⁺ y> Po = (U),

b)    z = y + 2x² - xy² - x²y- x⁴ - y⁴, p₀ = (1,0),

c)    z = x⁷ + xy⁶ + y⁵ + x⁵ - 13x - 1 ly, p₀ = (1,1),

d)    z = ye“^x "^2y , p₀ = (0,1/2),

e)    z = ycos²x-cosy + x²-y, p₀ = (0,7t).

4.    Sprawdzić, w którym z punktów: p,, p₂, p₃ funkcja z = z(x,y) ma ekstremum lokalne, gdy:

a)    z = 2x³-2y³ + 3x² - 3y², p, = (0,0), p₂ = (0,-l), p₃=(-l,0),

b) z = xy + ^ + ^, p, = (—1,1), P₂ = (—1,-1), p₃ = (l,l),

c)    z = (2x + y²)e-^2x\p, =(-1/2,0), p₂ = (1/2,0), p₃=(0,0).

5.    Znaleźć, o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem:

a) z = x² +2y² +2xy-2x,    b) z = x⁴ +2y² -4xy+l,

c) z = 6x²y-4x³ - y² -4y-3,    d) z = x³ -y³ + 3xy,