84 (60)

Wielomiany I funkcje wymierne

3.6.5. Metody rozkładu wielomianów na czynniki

a)    Grupowanie wyrazów, na przykład P(.v) = 2x³ - 7x² - Sx + 28, P(x) = (2x³ - 8*) + (-_7jlc² + ₂s).

b)    Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, na przykład P(x) = 2x (x² — 4) — 7 f .x² — 4\

P(^) = (.v^a-4)(2x-7),

c)    Stosowanie wzorów skróconego mnożenia, na przykład P(x) = (* — 2)(x + 2)(2x — 7).

d)    Dla trójmianu kwadratowego sprowadzenie do postaci iloczynowej (por. 3.2.1.).

e)    Wykorzystanie twierdzenia Bćzouta i twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu (por. 3.6.3.) oraz wzorów Viete’a (por. 3.2.1. i 3.6.4.).

f)    Stosowanie schematu Homera (por. 3.6.1.), na przykład:

P(x) =

Lr³ — 4x~ + Lr + 6

I ł ł ł

Wyraz wolny 6 dzieli się przez 2 (por 3.6.3g.), sprawdzamy, czy x = 2 jest pierwiastkiem P(x)

	1	-4	1	6
2	1	-2	-3	0 (reszta = 0, czyli P(x) jest podziclny przez (x — 2),

ł ♦ ł ł

(x — 2) (Lr²-2r - 3)

więc (por. 3.6.3c.) a* = 2 jest pierwiastkiem P(x))

Zatem: P(x) —

Dalej (por. 3.6.5d.) możemy rozłożyć: P(x) = (.v — 2)(x + l)(x — 3).

CHCESZ WIEDZIEĆ WIĘCEJ?

Etienne Bezout (1730-1783) -matematyk fran- ! cuski. Jego ojciec oczekiwał, że syn pójdzie w ślady jego oraz dziadka i zostanie urzędnikiem. Jednakże Bezout, studiując prace Eulera, ostatecznie poświęci! się matematyce. Zajmował się głównie algebrą, a zwłaszcza metodami rozwiązywania układów równań algebraicznych każdego stopnia.

Jego pierwsza praca, dotycząca teorii równań, badała, jak pojedyncze równanie z jedną niewiadomą mogłoby zostać zastąpione przez zapisanie go jako dwóch równań dwóch niewiadomych.

Prace z zakresu teorii równań publikowane przez Bćzouta w toku 177** zawierają wynik /naa> jako twierdzenie Bćzouta-

3.6.6. Równania i nierówności wielomianowe (I)

Wymienione w modułach 3.6.1.—3.6.4. twierdzenia mają zastosowanie do rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych zwanych algebraicznymi stopnia n(n ^ 3). Dla n = 1 mamy równania i nierówności liniowe (por. 3.1.3.), zaś dla n = 2 mamy równania i nierówności kwadratowe (por. 3.2.2.). a) Definicje

Niech P{x) = a_n x" + a_n _    ¹ + ... + a₂x² + a_tx + a_Q będzie wie

lomianem stopnia n (a_n # O) jednej zmiennej rzeczywistej x e R. Równanie wielomianowe: P(r) = 0.

Rozwiązywanie równań wielomianowych polega na poszukiwaniu pierwiastków wielomianu P(x).

Rozwiązaniem równania wielomianowego jest miejsce zerowe (pierwiastek) wielomianu P(x) — o ile istnieje.

Nierówności wielomianowe:

P(x) > 0,P(x) < 0, P(x) > 0,P(x) < 0 .

ostre ( mocne )    eiabe

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych polega na wyznaczaniu przedziałów, dla których wielomian P(x) ma znak: dodatni (>()), ujemny (< O), nicujcmny (> O), niedodatni (< 0).

Zbiorem rozwiązań nierówności wiciom i a nowej jest zbiór (przedział), w którym wielomian P(x) ma określony (wyżej) znak. Uwaga: Równania i nierówności liniowe i kwadratowe są szczególnymi przypadkami równań i nierówności wielomianowych.