zdjecie9

18

WIELOMIANY

Czasem aby rozłożyć wielomian na czynniki, trzeba wykazać się pomysłowością i zastosować nietypowe metody przekształcania wielomianów, np. przedstawić Jed-nimian jako sumę dwóch jednomianów albo dodać i odjąć ten sam jednomian.

przykłady

-» 2x* * x³ * 3x* ♦ x + 1 ■

2x* *xⁱ*x²* 2x* * x ♦ 1 «

• *^J(2*² + *+ll + 2*^J + )(+l -= (2zrⁱ>*+lK*²+l)

| zastępujemy jednomian 3x^ł sumą ♦ 2x*

I w zaznaczonym trójmianie wyłączamy wspol I ny czynnik przed nawias

wyłączamy wspólny czynnik (trójmian 2x* ♦«♦!) przed nawias

-» 4x⁵ - 5x + 1 =

m 4x³ — 4x - X •» 1 -

- 4x(x^J - l)-(x- 1) -

J zastępujemy jednomian -5x sumą -4x —

I w zaznaczonych dwumianach wyłączamy I wspólny czynnik przed nawias

= 4x(x - lj(x +1) —(x-1)w

stosujemy wzór n? - b* = (a - bXfl ♦ W

* (x- l)[4x(x ♦ 1)- 1] =

- (x - 1 X4x² + 4x - 1)

-» X⁴ +4 =

= x* * 4x² + 4 - 4x² =

= (X² ♦ 2J² - 4x² *

-(X* +2- 2xXx² + 2 + 2*)-= tx² - 2x ♦ 2Kx² ♦ 2x ♦ 2)

wyłączamy wspólny czynnik (dwumian przed nawias

I dodajemy i odejmujemy jednomian 4x² I stosujemy wzór a? ♦ 2ab + b² •U + H² I stosujemy wzór o² - b* - (a - b)(a ♦ b)

Uwaga. We    i powyższych przykładach czynniki otrzymane po rozłożeniu wielo

mianu miały stopień co najwyżej 2. Czasami czynniki, które są trójmlanami kwadratowymi (np. trójmian 4*-' | H - I w drugim przykładzie), można przedstawić w postaci iloczynu dwumianów stopom pierwszego. Wzory pozwalające rozkładać na czynniki trójrruany kwadratowe przypomnimy w matępnyni rozdziale.

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

c) x

X^ł + X -

zadania

1. Rozłóż wielomian na czynniki.

a)    x^ł + 4x² + x + 4

b)    6x³ - 5x^z + 6x - 5

3_i*2

d)    x³ - 5x² + 3x-15

e)    2x* - 3x² - 6x + 9

f)    10x³ + 25x² - 8x - 20

Ćwiczenia śtr. 6

g)    x³ + 10x^ + x³ + 10x²

h)    3x⁴ - 7x³ + 3x² - 7x I) x* + 3x^s + 2X* + 6x³

j)    2x^s + 5x⁴ + 8x³ +■ 20x²

k)    15x¹ - 10x³ + 45x* - 30x³

l)    -24x⁴ + 120x³ + 30x^z — 150x

2. Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia).

a)    x² - 7    e)    64x‘° + x²    i)    (x + 3)² + 2(x + 3) + 1

b)    4x² - 5    f)    x^z-6x + 9    j)    (x ♦ l)² -4

C)x²— 100x⁵    g)    |x² + |x+i    k)    (x—3)^z-x²

d) 49x⁴ - ^    b)    x⁴ - 2x^z +1    1)    (x² - 61³ - 8

3^ Znajdź liczby, które należy wpisać w kratki, a następnie rozłóż otrzymany wielomian na czynniki.

a)    6x³ + 5x² + 16x + 5 = 6x³ + 2x² +33x²♦ttx+x,+ 5

b)    3x⁴ - 9x³ + x² + 3x = 5x^ - 4x* - 3x² ♦ Sx³ +®t² + 3x

c)    -7x³ + 9jt + x³ - 3x² = -7x^s    3x³ + 7x⁴ +Qx³ - 3x²

® 4. Rozłóż wielomian na czynnikL

a) x⁵ + 3x* + 2x³ + 3x² + x c) 7x* + 3x³ + 2x² + 3x - 5 e) x³ - 6x - 4

f) 2x³ - 3x² t 1

b) 3x*-5x³ + 5x²-5x + 2 d)x^s-2x⁴

że

fi 5. a) Rozłóż wielomian x³ + Sx² + 3x + 15 na czynniki, a następnie uzasadnij, przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x > -5.

b)    Rozłóż wielomian 4x ’ - 8x² + 3x - 6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne.

c)    Rozłóż wielomian -12x⁵ + 6x⁴ - 2x + 1 na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla ujemnych wartości x wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie.

a)

x³—3x² *x —3 x-3

bl 30X* - 6x³ t-45x² —9x 8x^J + 12x

C> 3x² - 5x-»2 3x³-2x²-12x + 8

1

Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci (przyjmij, że x jest liczbą, dla

2

której wyrażenie występujące pod kreską ułamkową jest różne od 0).