041 2

Równania i nierówności wielomianowe

Metody rozkładu wielomianu na czynniki:

1)    Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.

2)    Dzielenie wielomianu W(x) przez (*-/•), gdzie r- pierwiastek fV(x).

3)    Grupowanie wyrazów.

4)    Stosowanie wzorów skróconego mnożenia:

•    (a + b)¹ = a¹ + 2 ab + b²

•    {a - b)¹ = a¹ - 2ab + b^{3 4}

•    a¹-b¹ = (a-b)(a + b)

•    {a + />)^! = a⁵ + 3 arb + 3 ab¹ + b^}

•    (a - /;)' = a⁴ - 3a¹b + 3c//r - b^}

•    a⁶ + />•' = (,a + b)(a¹ - r//> + ó¹)

•    a* ~ b^} = (a - b)(a¹ + ab 4- b¹).

B) Równania rozwiązywane przez rozkład na czynniki

ZADANIE 1

inaczej

.v²(.v+ I)- 1 (x+ 1) = 0 (.V + 1)(.Y² - 1) = O Zatem mamy równanie:

(.V + 1 )(.v^: - 1) = 0    Czynnik (X² — 1) można rozłożyć na czynniki li

niowe (korzystając ze wzoru skróconego mno-

(.V + 1 )(.Y - 1 )(.v + 1) = 0.    żenią a> - V = (a-6) (a + tij).

Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy jeden z nich jest zerem. tzn.

,v + 1 = 0 lub    .v - 1 = 0 lub    x + 1 = 0

x = -1 lub    x = 1    lub    jy = -1.

Zauważ, że -1 pojawiło się dwa razy, to oznacza, że -1 jest pierwiastkiem podwójnym (to można zapisać np. tak

Odpowiedź

.YG {-!«>, 1}

ZADANIE 2

A^J - 5.Y² - .Y + 5 = 0 .y²(.y - 5) - 1 (.y - 5) = 0 (.y-5)(.y²-1) = 0 (.y-5)(.y-1)(.y-M) = 0

Rozkładamy na czynniki, grupując wyrazy. Z pierwszego i drugiego wyrazu wyłączymy przed nawias x\ natomiast z trzeciego i czwartego wyrazu wyłączymy -1 przed nawias. Następnie wyłączamy wspólny czynnik (x- 5). Korzystamy ze wzoru:

a² - V - (a - b) (a + b).

Iloczyn trzech czynników jest równy zero. gdy któryś z nich jest zerem.

.y - 5 = 0 ,y = 5

Odpowiedź

lub

lub

.Y" 1 =0

X ~ I

lub

lub

.y + 1 = 0

.Y = -l

-YG H, 1,5}

Z pierwszego i drugiego składnika wyłączam ć przed nawias.

81

1

X¹(X+ 1) -Y 1 =0

2

Powstał wspólny czynnik (x + 1), który wyłą-

3

.v⁶ + ,v¹ - v -1=0

Zapamiętaj sobie jedną, podstawową zasadę: trzeba lewą stronę równania zamienić na iloczyn wyrażeń liniowych, tzn. postaci ax + b, lub kwadratowych nierozkładalnych ax¹ + bx + c (A < 0, a * 0).

Na tym właśnie polega rozkład na czynniki.

A teraz rozwiązanie:

x* + x¹-x- 1=0

4

• X⁶ + 1 • a;¹ - 1 -.v- 1 =0

5

x¹(x + 1) - (.V + 1) = 0    aam P^ed nawias.

6

Teraz „coś" trzeba zrobić z trzecim i czwartm. To „coś” nie może być przypadkowe, a prowadzące do powstania wspólnego czynnika, który potem wyłączam przed nawias.