023(1)

1)    Rozkładamy mianownik na czynniki i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez czynnik x—2; otrzymujemy

.. x- 2    x—2    ..    1    _ !

_x-4 .V² —4    (x+2)(x-2)    x+2    4

Oczywiście, nic mamy tu do czynienia z dzieleniem przez zero, co jest zawsze niedopuszczalne, gdyż. zgodnie z definicją granicy funkcji argument x dąży do swej granicznej wartości 2, nigdy jej nie osiągając. Dlatego x—2 ź 0.

Ogólnie, jeżeli wyznaczamy granicę funkcji dla X -> a, to należy pamiętać, że x nie przyjmuje wartości a, czyli że x ^ a i x a 0.

2)    Licznik i mianownik ułamka jako trójmiany kwadratowe rozkładamy na czynniki wg wzoru

ax¹-\-bx-^Jrc = a(x—xj)(x x₂)

gdzie xi i x₂ są pierwiastkami trójmianu. Następnie skracamy ula:. ek przez czynnik x—5; otrzymamy

2x²-llx+5    _r 2(x-5)(x-    2x-l    ₉

3*²—14x~5    3(x—5)|x-|- -*-j    ³*+^ł    16

3)    Skracamy ułamek dzieląc licznik i mianownik przez x-|-2; mamy

x⁵+2.V^,4-x² — 3x 10 _    x⁴+*—5    3

^^m2 x⁴ Y 2?+3x²4 5-^T ^{_ im}.v'+3^Tl ^ ~ 5

Ogólnie, jeżeli wyznaczamy granicę ułamka, którego licznik i mianownik są wielomianami, o miejscach zerowych w punkcie granicznym X — a, tona. podstawie twierdzenia Bezouta wdemy, że wielomiany te dzielą się bez reszty przez x—a, — ułamek taki zawsze można skrócić przez x—a.

4)    Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki i skracamy ułamek przez 1 +cosx; wtedy

v

sin²x    1—cos²x

1 + COS³X    (1 +COS X) (1 —COS X-(-COS'X)

1—cosx    2

* lim ~    j 2 *    o

1—cosx-(-cos‘^;x    3

55. Wyznaczyć granice:

1) lim

x-*0

o 3) lim

x

tgx

o 2) lim 0*4) lim

3 — j/ 2x -}-1

1 - }X

>0 1 — )/1 -f- tg *    ' x-*l 1 — YX

Rozwiązanie. Stwierdziwszy najpierw, że dla wskazanych pr .    -

gów argumentów dana funkcja jest ilorazem dwóch wielkości nieskończenie

małych ^przypadek, przekształcamy ułamek tak, aby można go .; '

skrócić przez czynnik dążący do zera.

1) Usuwamy niewymierność w liczniku mnożąc licznik i mianownik przez l-\-}/x-\-l, a .następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x; otrzymamy

_{Mm= lim} (i-v^TT)(i+ ,/r+D _

*-►0

*(1 + V'-^1C+^I)

= lim

■    = lim

-1

l+j/x+l

x(i + j/x+i)

2) Mnożymy licznik i mianownik przez iloczyn (2+ |/x)(3+j/2^+I)

a następnie skracamy ułamek przez 4—x; znajdujemy

²~VX _|im (4-x)(3 + \^/2^+lj ]/2x+1    (9—2x -1) (2+ j/x)

3 -j- J. 2x -j-1

lim

x-*4 3 -

= lim

_3_

4

1

2

2(2 +y'x)

3) Mnożymy licznik i mianownik przez 1 + \' 1+tg x, a następnie skracamy ułamek przez czynnik tgx; mamy

lim —

jc-+0 1-

tgx

= lim

tgx(l+ }l+tgx)

} l+tgx    1—1 —tgx

- — lim(1 -ł- |/l+tgx) = —2 4) Mnożymy licznik i mianownik przez iloczyn (l+j x)(H-kxf | ?)

45