3093695791

7. ROZKŁADANIE LICZB NA CZYNNIKI PIERWSZE. NWW. NWD

Dzielnik (podzielnik) liczby całkowitej:

(1)    w notacji matematycznej - liczba całkowita (tz.w. wielokrotność) dzieląca tą liczbę bez reszty;

(2)    w matematyce elementarnej - dowolna liczba przez którą dzielimy.

Czynnik pierwszy liczby złożonej - dowolna liczba pierwsza będąca dzielnikiem tej liczby.

Rozkład liczby złożonej na czynniki pierwsze

- jest to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynów czynników pierwszych.

Własności:

(1)    każda liczba złożona ma czynnik pierwszy, nie większy od pierwiastka kwadratowego z tej liczby;

(2)    każda liczba naturalna postaci 4k+ 3 (keN) jest albo pierwsza, albo ma przynajmniej jeden czynnik pierwszy tej postaci

(3)    każda liczba naturalna postaci 6k+ 5 (keN) jest albo pierwsza, albo ma przynajmniej jeden czynnik pierwszy tej postaci

Przyk ta dy rozkładu:

242= 2-112    63 000 = 23-32-53-7

242

121

11

1

2

11

11

63 000

31 500 15 750 7 875 2 625 875 175 35 7 1

A. D z i e In iki n a t.urajne I i ę z b y zł o ż o nę j

Każdą liczbę złożoną x można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych (p\. pi, pi, ...) o wykładnikach naturalnych (ni, u2, //.<,...) i przedstawić w postaci: X = p”¹ •    ' P3³ * P_k^k-

Liczba wszystkich dzielników naturalnych liczby złożonej x (łącznie z. dzielnikiem wynoszącym " 1" oraz. dzielnikiem wynoszącym "x ") wynosi wówczas: (nj + 1) ■ (»2 + 1)' iⁿ3 + 1) * (V-k + 1).

B.    Wy 2 n a c z a n i e N W W o r a z N W D

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) Największy wspólny dzielnik (NWD) liczb liczb naturalnych - to najmniejsza liczba    naturalnych - to największa liczba naturalna

naturalna podziel na prz.ez, każdą z tych liczb.    będąca dzielnikiem każdej z tych liczb.

NWW (a/; a2 ;...: a„) = NWW(d,; NW W(    ; a₃ ; ...; a_n)) «=> ab = NWW(o:6)-NWD(o: b)

Wyznaczanie NWW z danych liczb naturalnych, polega na podaniu iloczynu wszystkich czynników pierwszych otrzymanych z ich rozkładu łączonego (w rozkładzie łączonym wypisujemy rosnąco kolejne czynniki pierwsze prz.ez które jest podzieliła przynajmniej jedna z. rozkładanych liczb).

Wyznaczanie NWD z danych liczb naturalnych, polega na podaniu iloczynu wszystkich wspólnych czynników pierwszych występujących w każdej z rozkładanych liczb - przykłady poniżej.

Przykład nr 1 - dla liczb: 16 . 24 Rozkład łączony , Rozkład pojedynczy

16	24	2	2 ,	16	2	24
8	12	2	2	8	2	12
4	6	2	2	4	2	6
2	3	2	/	2	2	3
1	3	3	/	1		1
1	1	NWW i NWD j.

Przykład nr 2 -dla liczb: 6. 9. 15

Rozkład łączony    Rozkład pojedynczy

6 9 15	2	6 V	2 9	3 15
3 9 15	3	3 3	3 3	3 5
1 3 5	3	^N 1	1	1
1 1 5	5	\
1	NWW	NWD s

NWW (16: 24) = 2⁴- 3 = 48

NWD (16 : 24) = 23 = 8

NWW (6: 9: 15) = 2 • 3² • 5 = 90 NWD (6: 9: 15) = 3 = 3

NWD dwóch liczb możemy również obliczyć algorytmem Euklidesa (metodą starożytnych), np.:

I.    algorytm odejmowania ^ NWD (16: 24) = 8. bo: | 24 — 16 | = 8. | 16 — 8 1 = 8. | 8 —8 | = 0.

II.    algorytm dzielenia •=> NWD (16: 24) = 8. bo: 24 :16 daje resztę = 8. 16:8 daje resztę = 0.

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk    - 9 -    www.matematyka.sosnowiec.pl