3582445223

C. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

W ćwiczeniu 2 i przykładzie 7 rozłożyliśmy wielomiany na czynniki:

Określenie 13. Rozłożyć wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go jako iloczyn wielomianów stopnia różnego od zera.

Wiemy, że nie każdy trójmian kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki liniowe o współczynnikach rzeczywistych (ćwicz. 2c).

W ćwiczeniu 3 wielomian trzeciego stopnia jest rozłożony na czynniki liniowe (ćwicz. 3a, b, c) lub przedstawiony jako iloczyn czynników pierwszego i drugiego stopnia (ćwicz. 3d). Nie wiemy, czy każdy wielomian trzeciego stopnia daje się rozłożyć na czynniki. Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie ogólne, które przyjmujemy bez dowodu:

Twierdzenie 23. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych.

To nie znaczy oczywiście, że dokonanie takiego rozkładu jest łatwe. Z tw. Bezout wynika, że jeżeli znamy pierwiastek wielomianu, to potrafimy ten wielomian rozłożyć na czynniki.

Wiemy, że każdą liczbę całkowitą złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze tylko w jeden sposób (ćwicz. 4). W ćwiczeniu 5 rozłożyliśmy trójmian 6x² + x — 2 na czynniki trzema sposobami, ale widzimy, że odpowiednie dwumiany różnią się od siebie tylko czynnikiem stałym.

_x_ł = ł(2x—1) i 0,4x—0,2 = ^(2x — 1);

6x + 4 = 2(3x + 2) i 15x +10 = 5(3x+2).

Przyjmujemy, że dwa rozkłady wielomianu, w których odpowiednie czynniki różnią się tylko czynnikiem stałym, uważamy za ten sam rozkład. Przy tej umowie prawdziwe jest:

Twierdzenie 24. Rozkład wielomianu niezerowego o współczynnikach rzeczywistych na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych jest jednoznaczny.

D. WYMIERNE PIERWIASTKI WIELOMIANU O WSPÓŁCZYNNIKACH CAŁKOWITYCH

Twierdzenie 25. Jeżeli wielomian W{x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego to

licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.

Założenie:

W(x) = a₀ + a_xx+... + a„xⁿ, gdzie a₀,a_lt....a_neC i a_n ^ 0, w(^j = 0 i p,qeC i (p,q)= 1.

Teza:

V a₀ = p’l i V a_n = k-q.

leC    keC

. Dowód: Z założenia

a°+a₁0+...+a^) =0.

Mnożymy obie strony tej równości przez qⁿ:

(1) a₀qⁿ + a₁pqⁿ~¹ + ... +a„pⁿ = 0.

Stąd

W" = -P(a    ... +a„Pⁿ~¹)-

Liczba w nawiasie jest liczbą całkowitą jako suma iloczynów liczb całkowitych. Prawa strona ostatniej równości jest podzielna przez p, więc i jej lewa strona jest podzielna przez p. Ponieważ liczby p i q nie mają wspólnych dzielników, więc liczby p i qⁿ nie mają wspólnych dzielników. Zatem p dzieli a₀. Z równości (1) otrzymujemy również

a„pⁿ= -q{a₀qⁿ~¹+ ... +a„_₁p"^-1).

Rozumując tak jak wyżej dochodzimy do wniosku, że q dzieli a_n.

Wniosek 1. Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.

Wniosek 2. Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych, w którym a_n — 1 ma pierwiastki wymierne, to są one liczbami całkowitymi.

89