037 2

Równania i nierówności wielomianowe

ZADANIE 5_

Sprawdź, które liczby {3,-2, 1. -1,0} są pierwiastkami wielomianu W(x) = Ir⁴ + .v³ - .v² - 2.

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją pierwiastka wielomianu wystarczy sprawdzić czy wartość wielomianu dla tych liczb wynosi zero.

JE(3) = 2 • 3⁴ + 3³ - 2 = 162 + 27 -9-2 = 178

W(-2) = 2 • (-2)⁴ + (-2)^;-(~2)²- 2 = 32-8-4-2=18

W'(l) = 2- l⁴ + P - l^:-2 = 2+ 1 - I - 2=0

W(-1) = 2- I - 1 -2 = -2

/r(0) = o

Widzimy, żc po obliczeniu wszystkich wartości spośród wymienionych liczb wielomian ma dwa pierwiastki.

ZADANIE 6____

Wyznacz wartość parametru a tak. aby liczba r~ 2 była pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁵ + X' + ax² - 8.

Rozwiązanie

Skoro liczba 2 ma być pierwiastkiem naszego wielomianu W{x), to aby policzyć parametr a należy rozwiązać równanie W(2)    0.

W(x) = .r⁵ + .x^J + (IX² - 8, /• = 2 W(2) = 0

W{2) = 2⁵ + 2³ + r/2^: - 8 0 = 32+ 8 + 4a - 8 0 = 32+ 4a 4a = -32

r/ = -8

Odpowiedź

Dla r/ = -8 pierwiastkiem wielomianu M^a) jest liczba 2.

Twierdzenie:

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki liniowe lub nicrozkładalnc czynniki stopnia drugiego (A < 0).

Twierdzenie:

Jeżeli liczby x_r x₂.....x_n są pierwiastkami wielomianu:

W(x) = ajf + a_r + ... + </,.v + a_Q, a_n * O, to wielomian ten możemy zapisać w postaci iloczynowej:

H⁷(.V) = «.(*-*,)(*- AT,) • ... • (.V

Uwaga!

Jak znajdować szybko wymierne pierwiastki wielomianu? Jak dzielić wielomian przez dwumian, nie stosując dzielenia pisemnego? Na te pytania odpowiemy sobie już za chwilę. Poznajmy metodę dzielenia wielomianu przez dwumian. stosując tak zwaną tabelkę Homera.

Omówmy tę metodę na przykładzie. Mamy podzielić wielomian.

W{x) = 3r* + 2X² - 4x + 5 przez dwumian (.v    1).

Na początek należy narysować tabelę o takiej liczbie kolumn, jaki jest najwyższy stopień wielomianu, bez względu na to, czy są wszystkie pozostałe czy nic. Sposób wypełnienia jej prezentujemy na poniższym przykładzie dla wielomianu stopnia trzeciego o współczynnikach odpowiednio: </,, a„    a₀.

	III	II	I	0
	"j	^a2

Zgodnie z tematem zadania mamy wielomian postaci:

W(x) = 3.v^: + 2x^: - 4,v + 5, który chcemy podzielić przez dwumian (x - 1).

Wielomian jest stopnia trzeciego, zatem tabelka będzie wyglądać następująco:

	III	II	I	0
	3 +		-4	5
; = 1	'► 3	5^t	1	6
		3	5	1

(v - 1) RM-6

Omówimy ten przykład krok po kroku, jak uzupełnia się tabelę Homera.

73