046

Równania i nierówności wielomianowe

Równania i nierówności wielomianowe

Nierówność tę spełniają następujące: x e (-co, -7) u (-7, 1) u (2. +x). Odpowiedź

.v e (-x, -7) u (-7, -1) u (2, +oc)

ZADANIE 7_

-1993 (.V - 7)'^? (a- -i- 5)'V⁴ (a- - 13) > 0

Interesuje nas ta część wykresu znajdującego się nad OX wraz z punktami na osi.

Odpowiedź

a*g [7, 13] u {-5,0}

ZADANIE 8__

Wyznacz wartości parametru w, dla których iloczyn pierwiastków równania (m 3)a'^{1 2} + (m + 2).v + I = 0 jest mniejszy od 2.

Rozwiązanie:

(m - 3)a^-2 + {ni + 2)a* +1=0

1)    A > 0

2)    a * 0

3)    x, ■ ,v, < 2

W tym przypadku mamy do aynienia z równaniem kwadratowym z parametrem. Aby iloczyn pierwiastków tego równania byt większy od 2, musimy założyć, że istnieją dwa różne pierwiastki, czyli a * 0 i A > 0.

ponieważ .v, • x₂ < 2 to: <2

m - 3

/;/ - 3

2 < 0

i«_<0

Korzystamy z twierdzenia (*} str. 108 i iloraz zapisujemy jako iloczyn tych czynników, a następnie rysujemy wykres wielomianu, zaczynając go rysować od doiu, ponieważ znak przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny.

3)

2) ///    3*0

m * 3

Korzystamy ze wzorów Viete'a

w - 3 m - 3

(7 - 2m){m - 3) < 0 7    -

^,;/i ⁼ y ^m2 ^{= 3}

ni € (-co, 3) u (3,5; +oo)

Rozwiązaniem zadania będzie część wspólna wszystkich rozwiązanych warunków.

m € R i ni * 3 i ni e (-cc, 3) u (3.5, +co)

Odpowiedź

ni e (-co, 3) u (3,5; +co)

91

1

A = (ni + 2)^: - 4(/;/ - 3) = nr + Arii + 4 -Affi + 12 = nr + 16

m² + 16 >0

2

Am = 0-4- 1 • 16 = -64 A_wi < 0 brak pierwiastków m g R

ni