0071

73

§ 5. Całki eliptyczne

Nierówność tę udowodniliśmy przy założeniu, że jeden z rozpatrywanych trójmianów ma pierwiastki urojone, co odgrywało w naszych rozważaniach istotną rolę. Niech teraz oba trójmiany (5) mają pierwiastki rzeczywiste, powiedzmy, pierwszy — pierwiastki a i P, a drugi — y i 6 Podstawiając

p = —(a+j8),    ą = aP,    p' = -(y+ó), q' - yS ,

można napisać (6) w postaci

(6')    («-y) (a-ó) (p-y) (P-S) > 0.

Na to, by nierówność ta zachodziła, wystarczy postarać się o to, by pierwiastki tych trójmianów nie przeplatały się (żeby było na przykład a > p > y > d), co leży w naszej mocy (^ł).

Tak więc wybierając odpowiednio p i v otrzymujemy za pomocą wspomnianego podstawienia

]/ax?+ ...) dx

Cj(tt + v tf(M+Nt²)(M'+N't²) \

J ^K\ t +1 *    (t+1)² J(t+1)² at> co można także Gęśli wyłączyć wypadki zwyrodnienia, gdy któryś ze współczynników M, N, M\ N' jest zerem) napisać w postaci gdzie A, m i m' są różne od zera.

3° Za pomocą rozważań zupełnie analogicznych do tych, które były zastosowane na początku ustępu 284 można sprowadzić tę całkę do następującej:

f

R*(t)

]/A (l+mt²)(ł+m't²)

dl

z dokładnością do całki z funkcji wymiernej.

Rozłóżmy teraz funkcję wymierną R*(t) na dwa składniki

R*(Q-R*(-Q ⁺ 2

**(,) ₌

Pierwszy z nich nie zmienia swej wartości przy zamianie / na — /, sprowadza się więc do funkcji wymiernej Ri(/²) zmiennej t², drugi zaś przy wspomnianej zamianie zmienia znak,

O Zauważmy przy sposobności, że przedstawienie nierówności (6) w postaci (6') może być wykorzystane do dowodu tej nierówności również w tych przypadkach, gdy pierwiastki <x, j),... nie są rzeczywiste. Jeśli tylko pierwszy trójmian ma nierzeczywiste, a więc zespolone sprzężone pierwiastki a i /?, a liczby y i d są rzeczywiste, to czynniki a—y i fi—y są sprzężone, a więc iloczyn ich jest, jak wiadomo, liczbą rzeczywistą dodatnią; to samo dotyczy też czynników ot— d i fi—6. Jeśli zaś zarówno pierwiastki ot, p, jak i pierwiastki y, ó są liczbami zespolonymi parami sprzężonymi, to są także sprzężone czynniki a—y i p—6, jak również a—ó i p—y i iloczyny ich dadzą znów liczby rzeczywiste dodatnie.