PC043403

Ilustracja 1.60- Wykres funkcji y = ć‘

Z własności potęg wynikają opisane niżej własności funkcji wykładniczą.

I Twierdzenie 1.19. Jeżeli a e R⁺ \ {1} oraz R, to: |aK-/=^_}

_x w    x-v

fy mm '>

o

c) {a^x)> =a^{x y}.

Równania wykładnicze

Definicja 1.79. Równaniami wykładniczymi nazywamy równania, w któiyd niewiadoma występuje w wykładnikach potęg.

Rozwiązując równanie wykładnicze, bardzo często korzystamy z faktu opisanego w twierdzeniu 1.20.

Twierdzenie 1.20. Jeżeli a e R‘ \ {1}, to dla dowolnych funkcji / i g prawj dziwa jest równoważność    of(x) =g(x)._

Przykład 1.105

Rozwiązując równanie 9**² —-Jzj, wyrażenia po obu stronach równości zapiszemy jako potęgi o tej samej podstawie (w tym przypadku 3). W tym celu będziemy korzystaćz własności funkcji wykładniczej oraz własności potęg. Zauważmy, że 9*⁺² 5=-(3²)^x+2 = 3^2(j!*²⁾ =3²**⁴ oraz >/27 =27* «(3³)* =3^, a więc

dane równanie możemy zapisać w postaci 3²**¹ = 3²1 Porównując wykładniki

potęg, otrzymujemy równanie liniowe 2x+4 -1 które posiada jedno rozwią-

•5    Hi

zame x=-—.

.4-

W niektórych przypadkach w celu uzyskania rozwiązania równania wykładniczego możemy zastosować odpowiednie podstawienie.

Przykład 1.106

W równaniu 4* + 8*    możemy podstawić 2* -1 dla t > G. Najpierw do

konamy równoważnych przekształceń równania:

4* +8 = |-2**¹ » &Y + 8 =|:■ 2-2? <=>;(2*^ +8^9-2'.

Teraz możemy wykonać wspomniane podstawienie, otrzymując równanie kwadratowe t² + & = 9t. którego rozwiązaniami są = 1 i u = 8. Otrzymujemy zależności 2' = 1 oraz2* =8, i dalej 2*=2° oraz 2*=2³, a stąd mamy ostateczne rozwiązania z, = 0 oraz*2 = 3,

1.6.7. Funkcja logarytmiczna

Definicja 1.80. Funkcją logarytmiczną zmiennej x nazywamy funkcję posad:

/(#) = l0g_fl.t,    <1.16)

gdzie ae ST\{1}.

Niezależnie od wartości stałej a funkcja logarytmiczna:

•    jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich,

•    ma wartości ze zbioru liczb rzeczywistych,

•    jest równowartościowa.

Wykresem funkcji jest krzywa zwana krzywą logarytmiczną, która przecina oś Oh w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych (1,0) (odciętą tego punktu to jej jedyne miejsce zerowe).