matma0056

n-1

60

: _:

R

R

R

(1 + f)ⁿ - 1

= F_

*F = ^Fn

/. Funkcje jednej zmiennej i ich własności

wpłaty rat ^

1

początek renty Mamy zależność:

^Fn - ^Sl^+S2 ⁺ - ⁺⁵n’

gdzie S_k jest wartością skapitalizowaną na koniec renty raty wpłaconej w okresie (tj. raty R, będącej w dyspozycji banku przez n-k okresów).

Zatem S. = R(1 +p)ⁿ~^k, a stąd:

F_n = R( 1 + r)"'¹ + R( 1 + r)ⁿ~^z + ... + R(1 + r) + R.

Tak więc F_n jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu geometrycznego, w który a_l=R,q = l+ r. Ostatecznie:

_F„ = r r¹,

"    r

Uwaga: Obliczana z tego wzoru wartość F jest jedną z możliwych wycen wartości renty, a mu owicie w chwili wpłaty ostatniej raty. Często potrzebna jest jednak wycena renty w ch\ dokonywanej z niej pierwszej płatności odległej od wpłaty ostatniej raty o k okresów (pac zadanie 4.16).

Występujący w ostatnim wzorze czynnik kumulujący oprocentowanie rat w danej rencie jest zazwyczaj stabilicowany dla różnych wartości r i n .

Z wzoru na F_n po jego prostych przekształceniach dostajemy dwa bardzo uż} teczne wzory:

— na wielkość raty R dla uzyskania kapitału F_n po n wpłatach przy SP równe r:

l-i

(1 + r)" - 1

Uwaga: Tę wielkość rat oznaczyliśmy przez R_F , aby odróżnić ją od innego jeszcze rodzaju rai, o czym będzie mowa dalej.

— na liczbę n wpłat potrzebnych do uzyskania kapitału F_n przy ratach R i SP równej r: