74606 PC043391

94

■

Hn|

Ilustracja 1.46. Wykres funkcji f(x) -2r-3_

Z otrzymanego wykresu możemy dodatkowo odczytać, że:

•    zbiór wartości funkcji / wynosi /(IR) = j-4,eo),

•    / w przedziale (l,oo),

•    /\ w przedziale (-00,1),

•    funkcja/przyjmuje wartości dodatnie dla xe(-00,-1 )kj(3,00),

•    funkcja/przyjmuje wartości ujemne dla *€(-1,3),

•    funkcja ma minimum lokalne właściwe dla argumentu X =1,

•    funkcja jest wypukła w całej dziedzinie.

Równania i nierówności kwadratowe

Definicja 1.71. Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci

ar² + tac + c = 0    (14®

dia^&.c fe R oraz <2 *0.

Rozwiązywanie równań kwadratowych jest operacją analogiczną dowy²®*^-czania miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Równania kwadratowe zupełne, czyli takie, dla których b c*Q,rozwiązujemy. wykorzystując wzory na pierwiastki funkcji kwadratowej (przy identycznym warunku istnienia oraz liczby pierwiastków). W niektórych przypadkach konieczne jest najpierw przekształcenie równania do postaci (1.10)

Przykład 1.84

Równanie postaci 5x? + 3x+2=0 jest równaniem, które nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ A = 9- 4- 5- 2 = -31 <0.

Przykład 1.85

Wyróżnik równania Ax² - 4* +1 = 0 wynosi A = 4² - 4 - 4 • 1 = 16 - 16 = 0, a zatem równanie to posiada jedno podwójne rozwiązanie *₀ = ■=£ =

W niektórych przypadkach używamy również sformułowania, że równanie ma dwa jednakowe rozwiązania z, = x₂ =

Przykład 1.86

Aby rozwiązać równanie jr -3*+2 = 2*-4, należy najpierw przekształcić je do postaci (1.10), przenosząc wszystkie wyrazy z prawej strony na lewą i redukując wyrazy podobne. Po tych operacjach uzyskujemy równanie z² - 5x + 6 = 0, którego wyróżnik wynosi A= 25 - 4 -1 -6 = 1. Zatem równanie to posiada dwa rozwiązania: z, = —    =^p- = 2 oraz z₂ =-=^^- = ^-=3.

W niektórych przypadkach podczas rozwiązywania równania (1.10) nie jest konieczne wyznaczenie delty i stosowanie wzorów na pierwiastki. Dzieje się tak m.in. wówczas, kiedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym niezupełnym, czyli takim, dla którego b - c = 0. W takim przypadku:

•    jeżeli b = 0 i c = 0, to równanie kwadratowe przyjmuje postać <z*r = 0 i ma jeden podwójny pierwiastekx = 0,

•    jeżeli b * 0 i c = 0, to równanie ma postać car + bx = 0 i posiada dwa różne pierwiastki, które wyznaczamy, wyłączając czynnik* przed nawias.

•    jeżeli b=0 i c # 0, to równanie ma postać #r +c = 0 i jego rozwiązanie zależy od współczynnika a. Mianowicie:

-    jeżeli a i c mają znaki przeciwne, to rozwiązaniem jest para liczb przeciwnych. którą otrzymujemy po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia,

-    jeżeli a i c mają jednakowe znaki, to równanie nie posiada rozwiązań.