Skrypt(

Twierdzenie 3.1 Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x_c - O wtedy i tylko wtedy gdy istnieją pochodne /'(x₀~), /'(x₀~) i są sobie równe. Ponadto /' (x_c)= /'(xy~)= f (x_r.~).

Już po tych kilku przykładach widać, że procedura wyznaczania pochodnych przy pomocy definicji jest stosunkowo żmudna, a poza rym wymaga sporej pomysłowości. Poniższa tabela daje przegląd pochodnych podstawkowych funkcji elementarnych:

FUNKCJA i FUNKCJA POCHODNA		UWAGI
! / (x) - consr	/'(x) = 0	X € R
f(x) = X*	/'(O = a • x*~'	rsRÓsR j
f(x) = ~ ! V ✓V	. , . 1 j 'U) = - “ X	a = -1 x e R \ {Oj |
7 —* v X i:.	/■w=0	1 a=~j xsR^t ,
I j t,v) = cc' | f’(x) = cr Ino | a e R x e R
^1 /(*) = r	f^r(x) = e^r' ' ^a " e - liczba Eulera
f(x) = log7 X	r.( ^ i. i /'(*)- iogae- . .x x m a	o eR^: \ {l) , x eR ^1

f(x) = lnx "	\ 1 a = a x s R ^: ' j (x) = - j ;
/(x) = sinx	/'(x)=cosx ‘ x sR
f(x) - cosx	/'(x) = -sinx j x sR i
f(x) = tg.x	1 I -r f’(x) = —r- | X e R \ <: k7C : k =... -2.-1.0.L2... > j cos” x 2 ......
f{x) = ctgx	f(x)=- \ U SR'.{fcr: ' bin j\> i
f{x) = arcsin.v	z-w- ^1 . ^1 ! ..... ..
_ f(x) = arccosx	/■W—U. |^ls(rU)

vl-x

f(x) = arctgx		j x e R
;(.x) = arc ctg x	-^rW = ~lA	j X € R i	11

Tej tabeli niestety' trzeba się nauczyć na pamięć. Pozwala ona różniczkować wiele funkcji, ais nadal nawet tak proste funkcje jak wielomiany są poza jej zasięgiem. Zajmiemy się teraz ogólniejszymi własnościami pochodnych. Pozwolą one vt prosty i elegancki sposób rozszerzyć tabelę na niemal wszystkie funkcje elementarne.

26