df2

Rozdział 4

Zadanie 2

Zbadać różniczkowalność funkcji.

Funkcja jest różniczkowalna, jeżeli:

1)    Jest ciągła (sprawdzamy czy granica prawostronna i lewostronna w punkcie x₀ są sobie równe, a następnie czy są równe wartości funkcji w punkcie x₀)

2)    Granica pochodnej lewostronnej jest równa granicy pochodnej prawostronnej a) f(.r) = |x| • (x - 1) wpunktachx\ = 0 oraz x₂ = 1

1)    Sprawdzenie ciągłości w punktach x\ = 0 , x₂ = 1

lim |x| • (x - 1) = lim -x • (x- 1) = 0

Xo^u*0~    Xo^u*0~

lim |x| • (x - 1) = lim x • (x- 1) = 0

m = o

Funkcja jest ciągła w xi = 0

lim |x| • (x - 1) = lim x • (x- 1) = 0

x₀^l~    X₀^l”

lim |x| • (x - 1) = lim x • (x- 1) = 0

X_<j^l-^>1 ~    X_<j^l-^>1 ~

m = o

Funkcja jest ciągła w x₂ = 1

2)    Obliczenie granic pochodnych w punktach xi = 0 , x₂ = 1

lim f(x) = lim —(x — 1) — x = 1

x_o'-^>0~    x_(J‘->-0^_

lim f(x) = lim (x - 1) + x = -1

x_o'-*0*    x_(J‘->-0~

Funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie xi = 0

lim f(x) = lim (x - 1) + x = 0

x₀^l~    x₀^\~

lim f{x) = lim (x - 1) + x = 0

X_<3‘-^>1~    x₀^\~

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₂ = 1 b)/(x) = x • Jx¹ - 8x+ 16 w punktach xi = 0 , x₂ = 4 założenie:

x¹ - 8x+ 16 > 0 (x- 4)¹ > 0 => x e R

1)    Sprawdzenie ciągłości w punktach xi = 0 , x₂ = 4

lim x • Jx¹ - 8x + 16 = 0

x_o^0~

lim x • Jx¹ - 8x + 16 = 0

x_o^0~

AO) = o

Funkcja jest ciągła w xi = 0

lim x • Jx¹ - 8x + 16 = 0

x₀^4~

lim x • Jx¹ - 8x + 16 = 0

x_<?^4“

Funkcja jest ciągła w x₂ = 4

2)    Obliczenie granic pochodnych w punktach xi = 0 , x₂ = 4

Należy wprowadzić dodatkowe założenie: x*4 ponieważ Jx¹ - 8x+ 16 znajdujący się w liczniku musi być różny od zera. Z tego wynika, że funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x₂ = 2.

lim f(x) = lim Jx¹ - 8x+ 16 + ■    ^x    • (2x - 8) = 4

2jx¹-Sx+16

lim f(x) = lim Jx¹ - 8x+ 16 + ■    ^x    • (2x - 8) = 4

x₀^    2jx¹-Sx+16

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie xi = 0

c) f(x) =

x¹ - 1, gdy x <2 2x - 1, gdy x > 2

w punktach xi = 1 oraz x₂ = 2

1)    Sprawdzenie ciągłości w punktach xi = 1 , x₂ = 2 W punkcie x\ = 1 funkcja jest ciągła.

lim x¹ - 1 = 3

x₀^2~

lim 2x - 1 = 3

x₀^2~

f(2) = 2x - 1 = 3

W punkcie x₂ = 2 funkcja jest ciągła.

1

   Obliczenie granic pochodnych w punktach x\ = 1 , x₂ = 2 W punkcie x\ = 1 funkcja jest różniczkowalna

lim f{x) = lim 2x = 4

x₀^2~    x₀^2~

lim f{x) = lim 2 = 2

x₀^2~    x₀^2~

Funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x₂ = 2