df5

Rozdział 4

Zadanie 5

Obliczyć pochodne do rzędu n dla funkcji:

(pochodna 2 rzędu jest to pochodna z pochodnej, pochodna 3 rzędu to pochodna z pochodnej 2 rzędu, pochodna 4 rzędu to pochodna z pochodnej 3 rzędu itd.)

a) f(x) = x⁴ - 2x³ + x² - 1 oraz n = 3 f(x) = 4x³ - 6x² + 2x f'(x) = 12x² - 12x + 2 f²\x) = 24x- 12

c) f{x) = _e^x2~^x+1 oraz n = 2 /(x) =    • (2x - 1)

2

A(r) = e*²-^x+1 • (2x - 1) • (2x - 1) + e^x2-*⁺¹ fi(x) = e*²-^x+1 • [(2x - l)² + 2] f^!{x) = e^x2~^x+1 • [4x² - 4x + 3]

9)A-r) -

(*²⁺¹)

m =

(*²⁺o

Mx) = f’(x) =

/'W =

oraz n = 2

[e^x-(x^z-2x+1 )+e^x(2x-2)](x"+1 y-e^x(x^-2x+1 )-2(x*+1 >2*

(Al)⁴

e^x(x"-^Jr 1 )*[(x -1 )(x"+1 )-{x^-2x-k1 )*4x]

1 )(x*+1 )-(x~-2x+1 )«4x]

(Ai)³

_ e^Jf[x⁴+x"-x"-l-(4x^j-8x"+4x)] (x²+l)^;

y? I _ g^x [x⁴+.x^-.x^- l-4x^j+8x^-4x]

(x²+l)^;

(x²+!)^;

i) = in yr

/(*) =

+ x-

ł/i

+X"

(-4-)(l+x²) 3 • 2x

/(x) = (1 + X²) 3 . i-(l 4- X²) 3 . 2x

m =

/'W = /'W = /'(*) = /'W = /'W =

2x

3(l+x²)

2*3(l+x²)-2x*3«2x

9(l+x²)²

6(l+x²)-12x^:

9(l+x²)²

6x²+6-12x²

9(l+x²)²

-6.Y²-r6

9(l+x²)²

-2x²+2

3(l+x²)² j) Ar) = e^x oraz n = 3

yt(x) = e^x~ • 2x

f¹(x) = 2e^x~ + 2x • e^x~ • 2x

A(r) = 2e^x' + 4x² • e^x"

/³>(x) = 2e^x‘ • 2x + 8x • e^x~ + 4x² • e^x~ • 2x /³>(x) = e^x" (12x + 8x³)

/³>(x) = 4x • e^x"(3 + 2x²)

k) Ar) = cosx oraz n = k f(x) = -sinx = cos(x+ y) yt/(x) = -cosx = cos(x + n) /³)(x) = sinx = cos(x + A) AA^r) = cos(x+ -A)

1

Ar) = xe^x oraz n = k

/(x) = e^x + xe^x f¹ (x) = e^x + e^x + xe^x AA) = e^x + e^x + e^x + xe^: f^k) (x) = ke^x + xe^x f^k] (x) = e^x (k + x)