68686

9. Udowodnić, żc

2n - 1

„ 1 1 ^S:=1 + 3 ⁺ 5 ⁺

nic jest liczbą całkowitą dla n > 1.

10. Niech aj, a„. n > 1, będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Przypuśćmy, że istnieje liczba pierwsza p i dodatnia liczba całkowita k takie, że // | a, dla pewnego t oraz p^k f a_} dla j i. Udowodnić, że

S:=

flj    Q_n

nie jest liczbą całkowitą.

11. Udowodnić, że jeśli n jest liczbą złożoną, to n ma dzielnik pierwszy nie przekraczający >/ń.

12.    Udowodnić, że jeśli najmniejsza liczba pierwsza p dzieląca liczbę całkowitą dodatnią n przekracza \fń. to * = 1 lub j_t jest liczbą pierwszą.

13.    Niech p będzie liczbą pierwszą. Udowodnić, żc (J) liczbą podzielną przez p. dla 1 < k < p — 1.

14.    Niech p będzie liczbą pierwszą. Udowodnić, że p | (p^P) — u dla każdej liczby naturalnej n > 1.

15. Niech p* oznacza A:-tą liczbę pierwszą, k > 1. Udowodnić, że p* <

2²‘.

W s k a z ó w k a. Udowodnić, że p* < pi • • • p*_ i + 1.

16.    Udowodnić, że n(x) > log(log(j:)) dla x > 1.

17.    Udowodnić, że y/x < 2^t(x).

Wskazówka. Wykorzystać fakt, że każda liczba naturalna może być przedstawiona w postaci mn², gdzie m jest liczbą bezkwadratową.

18.    Udowodnić, żc n{x) >

19.    Udowodnić, że n(x) < ^^logx, dla x > 2.

Wskazówka. Wykorzystać fakt. że rin<p<2nPl C")-

2